Тест простоти AKS

Ключове значення AKS полягає в тому, що це перший опублікований алгоритм, який одночасно є поліноміальним, детермінованим та не спирається ні на які недоведені припущення. Тобто, максимальний час виконання алгоритму можна виразити як поліном від числа розрядів тестованого числа; він ґарантує вирішення задачі: є число простим чи складеним (а не отримання ймовірнісного результату); і його коректність не залежить від коректності якоїсь допоміжної недоведеної гіпотези (наприклад, гіпотези Рімана).

AKS-тест ґрунтується на конгруенції

${\displaystyle (x-a)^{n}\equiv (x^{n}-a){\pmod {n}}}$,

яка виконується тоді й тільки тоді, коли n просте. Це узагальнення малої теореми Ферма, поширеної на поліноми. Її можна легко довести, використовуючи біноміальну теорему та факт, що ${\displaystyle {n \choose k}\equiv 0{\pmod {n}}}$ для всіх 0 < k < n, якщо n просте. Хоч ця рівність сама по собі є тестом простоти, її перевірка потребує експоненційного часу. Тому AKS використовує пов'язану з попередньою конгруенцію

${\displaystyle (x-a)^{n}\equiv (x^{n}-a){\pmod {n,x^{r}-1}}}$,

яку можна перевірити за поліноміальний час. Проте ця конгруенція виконується не тільки для всіх простих чисел, але й для деяких складених. Доведення коректності AKS полягає в такому: показати існування відповідного малого r та відповідної малої множини цілих чисел A таких, що коли конгруенція виконується для всіх a в A, то n має бути простим. Алгоритм тестування простоти деякого цілого числа n складається з двох частин. Перший крок знаходить таке відповідне просте ${\displaystyle r=kq+1}$, що:

• ${\displaystyle P(r-1)=q}$ де ${\displaystyle P(x)}$ — найбільший простий дільник числа ${\displaystyle x}$,
• ${\displaystyle q\geq 4{\sqrt {r}}\log _{2}(n),}$
• ${\displaystyle n^{k}\not \equiv 1{\pmod {r}}.}$

Під час цього кроку важливо перевірити, що n не ділиться ні на яке просте ${\displaystyle p\leq r}$; якщо це не так, то алгоритм можна негайно завершити з повідомленням: n складене. На другому кроці виконується низка перевірок в скінченному полі ${\displaystyle GF(n^{r})}$, кожен раз перевіряється рівність двох поліномів над цим полем: якщо

${\displaystyle (x-a)^{n}\equiv (x^{n}-a){\pmod {n,x^{r}-1}}}$

для всіх додатних цілих чисел a з

${\displaystyle a\leq 2{\sqrt {r}}\log _{2}(n),}$

то n ґарантовано є простим. У всіх інших випадках воно складене. Як і для інших таких алгоритмів, стаття стосується встановлення двох фактів: доведення коректності алгоритму та оцінки його асимптотичної часової складності. Це досягнуто доведенням двох ключових фактів, по-перше, показано, що підхоже r можна завжди знайти й встановленням верхньої границі його величини, по-друге, показано, що перевірки низки рівностей у другій частині алгоритму достатньо для гарантування розрізнювання: n просте чи складене. Оскільки час виконання обидвох частин алгоритму повністю залежить від величини r, отримання верхньої границі для r було достатнім, щоб показати, що асимптотична часова складність алгоритму рівна O${\displaystyle (\log ^{12+\epsilon }(n))}$, де ε — мале дійсне число. Іншими словами, алгоритм потребує менше часу, ніж константа, помножена на дванадцятий (плюс ε) степінь числа розрядів в n. Проте доведена в роботі верхня межа значно завищена, насправді, виконання припущення про розподіл простих чисел Софі Жермен негайно зменшило б оцінку до O${\displaystyle (\log ^{6+\epsilon }(n))}$. У наступні після відкриття місяці з'явилися нові варіанти (Ленстра 2002, Померанце 2002, Берізбейтіа 2003, Ченг 2003, Бернштейн 2003a/b, Ленстра та Померанце 2003), які покращили швидкість на кілька порядків. Через існування багатьох варіантів Крандел та Пападопоулос посилаються на «AKS-клас» алгоритмів у своїй науковій роботі «On the implementation of AKS-class primality tests» («Про реалізацію тестів простоти з AKS-класу»), опублікованій у березні 2003 р.

У відповідь на деякі з цих варіантів та інші зауваження стаття «PRIMES is in P» була повторно опублікована з новим формулюванням AKS-алгоритму та доведенням його коректності. Хоча основна ідея залишилася тією ж, r вибирається по-іншому й доведення коректності виконано більш прозоро. Попереднє доведення спиралося на багато різних методів, а нова версія використовує майже виключно поведінку циклотомічних поліномів над скінченними полями. AKS-алгоритм знову складається з двох частин, і перший полягає в знаходженні відповідного r; проте у новій версії r є таким найменшим додатним цілим, що: ${\displaystyle o_{r}(n)>\log ^{2}n,}$ На другому кроці знову перевіряється конгруенція

${\displaystyle (x-a)^{n}\equiv (x^{n}-a){\pmod {n,x^{r}-1}}}$

У цьому разі для всіх додатних цілих менших від ${\displaystyle {\sqrt {\phi (r)}}\log _{2}(n)}$ де ${\displaystyle \phi (r)}$ — значення функції Ейлера для r. Ці зміни спростили хід доведення коректності. Вони також дозволили зменшити границю часової складності, яка відтоді оцінюється як O${\displaystyle (\log ^{10.5}n)}$.

Ленстра та Померанце показали як вибрати поліноми в тесті, щоб досягти часової границі O${\displaystyle (\log ^{6}n)}$.

1. ↑ Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena, «PRIMES is in P», Annals of Mathematics 160 (2004), no. 2, pp. 781–793.
2. ↑ H. W. Lenstra, Jr. and Carl Pomerance, «Primality Testing with Gaussian Periods», preliminary version July 20, 2005.

• R. Crandall, Apple ACG, and J. Papadopoulos (March 18, 2003): On the implementation of AKS-class primality tests (PDF)
• Article by Borneman, містить фото й інформацію про трьох індійських вчених (PDF)
• Andrew Granville: It is easy to determine whether a given integer is prime
• The Prime Facts: From Euclid to AKS, by Scott Aaronson (PDF)
• The «PRIMES is in P» FAQ