Тотожності Ньютона

Формулювання з допомогою симетричних поліномів

Нехай ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ будуть змінними, для ${\displaystyle k\geq 1}$ позначимо суму ${\displaystyle k}$-тих степенів цього ряду як ${\displaystyle p_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})}$:

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k},}$

і для ${\displaystyle k\geq 0}$ позначимо ${\displaystyle e_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ елементарний симетричний многочлен, який являє собою суму всіх можливих різних добутків ${\displaystyle k}$ різних змінних, зокрема

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=1,\\e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n},\\e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j},\\\dots \\e_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}x_{2}\cdots x_{n},\\e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0,\quad {\text{for}}\ k>n.\\\end{aligned}}}$

Тоді тотожності Ньютона можна записати так

${\displaystyle ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

для всіх ${\displaystyle k\geq 1}$. Для кількох перших значень ${\displaystyle k}$ отримаємо:

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\2e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})-p_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\3e_{3}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})-e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})+p_{3}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\\\end{aligned}}}$

Форма і правильність цих рівнянь не залежить від кількості змінних (хоча після ${\displaystyle n-}$ї тотожності лівий бік дорівнює нулю), що дозволяє записати їх як тотожності у кільці симетричних многочленів. У цьому кільці маємо

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=p_{1},\\2e_{2}&=e_{1}p_{1}-p_{2},\\3e_{3}&=e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+p_{3},\\4e_{4}&=e_{3}p_{1}-e_{2}p_{2}+e_{1}p_{3}-p_{4},\\\end{aligned}}}$

і т.д.; тут лівий бік ніколи не стає нулем. Ці рівняння дозволяють виразити ${\displaystyle e_{i}}$ через ${\displaystyle p_{k}}$; також можна

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=e_{1},\\p_{2}&=e_{1}p_{1}-2e_{2},\\p_{3}&=e_{1}p_{2}-e_{2}p_{1}+3e_{3},\\p_{4}&=e_{1}p_{3}-e_{2}p_{2}+e_{3}p_{1}-4e_{4},\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

Загалом, ми маємо

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=(-1)^{k-1}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})+\sum _{i=1}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

виконується для всіх ${\displaystyle n\geq 1}$ і ${\displaystyle k\geq 1}$.

Також маємо

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=k-n}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

для всіх ${\displaystyle k>n\geq 1}$.

Застосування до коренів многочлена

Многочлен з коренями ${\displaystyle x_{i}}$ можна записати як

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}e_{n-k}x^{k},}$

де коефіцієнти ${\displaystyle e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ це симетричні многочлени, означені вище.

• Многочлен Ньютона

• Weisstein, Eric W. Newton-Girard Formulas(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• A Matrix Proof of Newton's Identities
• Application on the number of real roots