Тренд (статистика)

Тренд (від англ. Trend — тенденція) — загальна тенденція при різнонаправленому русі, визначена загальною спрямованістю змін показників часового ряду. Графіки можуть описуватись різними рівняннями - лінійними, логарифмічними, степеневими і т.д.. Фактичний тип графіка встановлюють за графічним зображенням даних часового ряду, шляхом усереднення показників часового ряду, на основі статистичної перевірки гіпотези про сталість параметрів графіка.

Тренд — різні автори дають різні визначення але в широкому розумінні, тренд — це тривала зміна рівня середнього випадкового процесу.

Визначення

Найпростішим прикладом є лінійний тренд + шум, відповідно до якого спостереження в момент $t\,$ , це випадкова змінна $X_{t}$ , що визначається як:

X_{t}=\alpha +\beta t+\epsilon _{t}

,

де $\alpha$ , $\beta$ — константи, $\epsilon _{t}$ — випадкова помилка з нульовим середнім.

Рівень середнього визначається як $m_{t}=(\alpha +\beta t)$ ; та інколи називається трендовою складовою. Деякі автори називають трендом нахил $\beta$ ; тоді тренд — це зміна рівня середнього за одиницю часу. Зазвичай, сенс тренду випливає із контексту його вживання.

Тренд в наведеному рівнянні є детермінованою функцією та інколи називається глобальним лінійним трендом. Якщо параметри $\alpha$ та $\beta$ можуть змінюватись з часом, то такий тренд називають локальним. Як варіант, тренд може зростати пропорційно квадрату часу.

Аналіз часових рядів з трендами залежить від задачі:

обчислення тренду, усунення випадкових відхилень;
обчислення та усунення тренду з метою дослідження відхилень.

Наявність сезонних коливань також має вплив на методи дослідження трендів.

Наближення кривою

Традиційним методом обробки даних, що містять несезонний тренд є апроксимація (наближення) простою функцією, такою, як наприклад, деякий поліном, крива Ґомперца або логістична крива[1][2]. Крива Ґомперца визначається як:

\log x_{t}=a+br^{2}

де $a,b,r$ — параметри, $0<r<1$ , а логістична крива визначається як:

x_{t}=a/(1+be^{-ct})

Для всіх кривих цього виду, наближена функція визначає тренд, а залишки — оцінку рівня випадкових коливань.

Фільтрування

Іншим методом аналізу трендів є застосування лінійного фільтру, що перетворює часовий ряд $\{x_{t}\}$ на $\{y_{t}\}$ шляхом застосування лінійного перетворення:

y_{t}=\sum _{r=-q}^{+s}a_{r}x_{t+r}

,

де $a_{r}$ — набір коефіцієнтів (ваг). Якщо сума коефіцієнтів дорівнює 1, то такий фільтр називають ковзаючим середнім.

Примітки

Levenbach and Reuter. Forecasting trending time series with relative growth rate models // Technometrics. — 1976.
Meade. The use of growth curves in forecasting market development - a review of appraisal // J. of Forecasting. — 1984.

Джерела інформації

Chris Chatfield (1996). The Analysis of Time Series, an Introduction (вид. 5-те). Chapman & Hall/CRC. с. 33.

Див. також

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Levenbach and Reuter. Forecasting trending time series with relative growth rate models // Technometrics. — 1976.

[2] Meade. The use of growth curves in forecasting market development - a review of appraisal // J. of Forecasting. — 1984.