Третя космічна швидкість

Введемо позначення: Швидкості корабля відносно Землі: ${\displaystyle v_{1}}$, ${\displaystyle v_{2}}$, ${\displaystyle v_{3}}$ — відповідно перша, друга і третя космічні швидкості. Аналогічно позначимо швидкості відносно корабля відносно Сонця: ${\displaystyle V_{1}}$, ${\displaystyle V_{2}}$, ${\displaystyle V_{3}}$.

Якщо корабель виходить із зони земного тяжіння з параболічною швидкістю відносно Сонця, то відносно Землі ця швидкість буде 3 космічною, яку позначимо через ${\displaystyle v_{3}}$.

Знайдемо мінімальне значення цієї швидкості.

Для цього старт потрібно проводити так, щоб при виході із зони земного тяжіння корабель рухався вздовж дотичної до земної орбіти і в напрямку руху Землі. Швидкість руху Землі відносно Сонця — це швидкість колового руху ${\displaystyle V_{1}}$. При запуску корабля внаслідок віддачі зміниться і дорівнюватиме ${\displaystyle V}$. Швидкість запуску корабля у момент старту відносно Сонця ${\displaystyle V_{1}+v_{3}}$, а після виходу із зони земного тяжіння траєкторія руху стане параболічною і швидкість ${\displaystyle V_{2}}$.

Тоді рівняння закону збереження енергії матиме вигляд:

${\displaystyle {\frac {m(V_{1}+v_{3})^{2}}{2}}+{\frac {M\cdot V_{1}^{2}}{2}}-G\cdot {\frac {m\cdot M}{R}}={\frac {m\cdot V_{2}^{2}}{2}}+{\frac {M\cdot V^{2}}{2}}}$ (1)

Де ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle M}$ — відповідно маси корабля і Землі. Оскільки ${\displaystyle G{\frac {m\cdot M}{R^{2}}}=m{\frac {v_{1}^{2}}{R}}}$ то рівняння (1) перепишемо у вигляді:

${\displaystyle m((V_{1}+v_{3})^{2}-2v_{1}^{2}-V_{2}^{2})=M(V^{2}-V_{1}^{2})}$ (2)

Слід врахувати, що ${\displaystyle V\approx V_{1}}$ та ${\displaystyle V+V_{1}\approx 2V_{1}}$ і зв'язок першої і другої космічних швидкостей: ${\displaystyle V_{2}^{2}=2\cdot V_{1}^{2}}$. Тоді рівняння (2) можна записати у вигляді:

${\displaystyle m(V_{1}^{2}+2V_{1}v_{3}+v_{3}^{2}-2v_{1}^{2}-V_{2}^{2})=M(V-V_{1})(V+V_{1})}$ (3)

Із (3) випливає

${\displaystyle m(V_{1}^{2}+2V_{1}v_{3}+v_{3}^{2}-2v_{1}^{2}-2\cdot V_{1}^{2})=2V_{1}\cdot M(V-V_{1})}$ (4)

Нехтуючи дією поля сонячного тяжіння, закон збереження імпульсу цих станів можна записати у такій формі:

${\displaystyle M\cdot V_{1}+m\cdot (V_{1}+v_{3})=M\cdot V+m\cdot V_{2}}$ (5)

Із (5) випливає

${\displaystyle m(V_{1}+v_{3}-V_{2})=M(V-V_{1})}$ (6)

Підставляємо вираз ${\displaystyle M(V-V_{1})}$ у рівняння (4) і знаходимо мінімальне значення третьої космічної швидкості:

${\displaystyle m(2\cdot V_{1}v_{3}+v_{3}^{2}-2v_{1}^{2}-V_{1}^{2})=2V_{1}\cdot m(V_{1}+v_{3}-V_{2})}$ (7)

Врахуємо, що ${\displaystyle V_{2}={\sqrt {2}}V_{1}}$ і підставимо до (7):

${\displaystyle 2V_{1}v_{3}+v_{3}^{2}-2v_{1}^{2}-V_{1}^{2}=2V_{1}^{2}\cdot (1-{\sqrt {2}})+2V_{1}v_{3})}$ (8)

Із (8) випливає

${\displaystyle v_{3}^{2}=2V_{1}^{2}\cdot (1-{\sqrt {2}})+V_{1}^{2}+2v_{1}^{2}}$ (9)

Спростивши вираз (9) отримаємо:

${\displaystyle v_{3}^{2}=V_{1}^{2}\cdot ({\sqrt {2}}-1)^{2}+2v_{1}^{2}}$ (10)

Підставивши числові значення до (10), а саме:

${\displaystyle V_{1}\approx 30\cdot 10^{3}}$ (м/с) і ${\displaystyle v_{1}=7{,}9\cdot 10^{3}}$ (м/с) отримаємо:

${\displaystyle v_{\mathrm {min} }=16{,}7\cdot 10^{3}}$ (м/с)(11)

Якщо корабель посилати у протилежному напрямі до напрямку руху Землі, то третя космічна швидкість буде мати максимальне значення:

${\displaystyle v_{\mathrm {max} }^{2}=V_{1}^{2}({\sqrt {2}}+1)^{2}+2v_{1}^{2}}$ (12)

${\displaystyle v_{\mathrm {max} }=73{,}3\cdot 10^{3}}$ (м/с).

• Перша космічна швидкість
• Друга космічна швидкість
• Четверта космічна швидкість