Закон збереження імпульсу

Розглянемо систему декількох частинок, які зіштовхуються пружно (без перетворення частини механічної енергії в інші форми), з масами ${\displaystyle m_{i}}$ і швидкостями ${\displaystyle u_{i}}$ до зіткнень і ${\displaystyle U_{i}}$ після зіткнень. Закон збереження енергії має вигляд

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}u_{i}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}U_{i}^{2}.}$

Перейдемо в систему відліку, яка рівномірно і прямолінійно рухається зі швидкістю ${\displaystyle v}$. Швидкості частинок з точки зору цієї системи відліку будуть ${\displaystyle u_{i}-v}$ до зіткнень і ${\displaystyle U_{i}-v}$ після зіткнень. Закон збереження енергії з точки зору цієї системи має вигляд

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{(u_{i}-v)}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{(U_{i}-v)}^{2},}$ або

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{(u_{i}^{2}-2vu_{i}+{v}^{2})}={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{(U_{i}^{2}-2vU_{i}+{v}^{2})}.}$

Отже, ${\displaystyle \sum _{i}m_{i}vu_{i}=\sum _{i}m_{i}vU_{i}}$, звідки випливає ${\displaystyle v\sum _{i}m_{i}u_{i}=v\sum _{i}m_{i}U_{i}}$. Оскільки швидкість ${\displaystyle v}$ довільна, то остання рівність буде справедливою тільки в разі виконання закону збереження імпульсу

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}u_{i}=\sum _{i}m_{i}U_{i}.}$[4]

Розглянемо функцію Лагранжа вільного тіла ${\displaystyle {\mathcal {L}}\equiv {\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t),}$ залежну від узагальнених координат ${\displaystyle q_{i}\,,}$ узагальнених швидкостей ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ і часу ${\displaystyle t}$. Тут крапка над ${\displaystyle q}$ позначає диференціювання за часом, ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {\partial q_{i}}{\partial t}}.}$ Виберемо для розгляду прямокутну декартову систему координат, тоді ${\displaystyle q_{i}={\vec {r}}_{a},\ {\dot {q}}_{i}={\vec {v}}_{a}}$ для кожної ${\displaystyle a}$-тої частки. Використовуючи однорідність простору, ми можемо дати всім радіус-векторам частинок однаковий приріст, який не впливатиме на рівняння руху: ${\displaystyle {\vec {r}}_{a}\to {\vec {r}}_{a}+{\vec {\xi }},}$ де ${\displaystyle {\vec {\xi }}\equiv {\overrightarrow {\mathrm {const} }}.}$ У разі сталості швидкості функція Лагранжа зміниться так:

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {r}}_{a}}}\delta {\vec {r}}_{a}={\vec {\xi }}\ \sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {r}}_{a}}},}$

де підсумовування йде за всіма частинками системи. Оскільки приріст не впливає на рівняння руху, варіація функції Лагранжа має бути рівною нулю: ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=0.}$ З урахуванням того, що вектор ${\displaystyle {\vec {\xi }}}$ — довільний, остання вимога виконується при:

${\displaystyle \sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {r}}_{a}}}=0.}$

Скористаємося рівнянням Лагранжа ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0:}$

${\displaystyle \sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {r}}_{a}}}=\sum _{a}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {v}}_{a}}}={\frac {d}{dt}}\sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {v}}_{a}}}=0.}$

Це означає, що сума, яка стоїть під знаком диференціала, — стала величина для даної системи. Сама сума і є сумарним імпульсом системи:

${\displaystyle {\vec {P}}=\sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {v}}_{a}}}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}.}$

Враховуючи, що лагранжіан вільної частинки має вигляд: ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {mv^{2}}{2}},}$ легко бачити, що останній вираз збігається з виразом у ньютоновому формалізмі:

${\displaystyle {\vec {P}}=\sum _{a}m_{a}{\vec {v}}_{a}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}.}$

Для релятивістської вільної частинки лагранжіан має дещо іншу форму: ${\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$ що призводить до релятивістського визначення імпульсу

${\displaystyle {\vec {P}}=\sum _{a}{\frac {m_{a}{\vec {v}}_{a}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}.}$

Нині не існує будь-яких експериментальних фактів, що свідчать про невиконання закону збереження імпульсу.