Флексагон

Гексафлексагон — це флексагон, що має форму правильного шестикутника. Кожна поверхня флексагона складається з шести трикутних секторів.

Тригексафлексагон — гексафлексагон з трьома поверхнями. Це найпростіший з усіх гексафлексагонов (не рахуючи унагексафлексагона і дуогексафлексагона). Він представляє з себе сплющену стрічку Мебіуса[2][4].

Тригексафлексагон можна згорнути зі смужки паперу, розділеної на десять рівносторонніх трикутників, наступним чином[2][8]:

• Вирізати з паперу стрічку шириною в 4-7 см і розмітити з двох сторін згідно малюнку:

Розгортка тригексафлексагона(з двох сторін)

• Перегнути стрічку по кожній з ліній в обидві сторони і знову розігнути.
• Перегнути стрічку по лініях a — b і c — d так, щоб сектори з «двійками» поєдналися один з одним:

Виготовлення тригексафлексагона

• Перегнути стрічку по лінії e — f так, щоб поєдналися останні дві «двійки».
• Намазати клеєм сектори, помічені зірочкою, і склеїти їх:

Тригексафлексагон

Схематичне зображення гексафлексагона з позначеннями кутів і центру

Складання тригексафлексагона здійснюється наступним чином[2][8][9].

Модель двома пальцями правої руки за кут D. Ліва частина моделі згинається двома пальцями лівої руки по лінії AO від себе так, щоб із зворотного боку трикутники ABO і AFO поєдналися. Утворюється «пірамідка з хвостом — клапаном».

Потім кут D поєднується ззаду з кутами B і F. У цей момент точки B, F, D знаходяться прямо за точкою O.

Після цього конструкція розкривається спочатку по лінії COE (при цьому точка O йде праворуч), а потім по лінії AO.

Цей метод складання носить назву pinch flex[10].

Для почергового перегляду всіх трьох площин тригексафлексагона досить повторювати описану послідовність дій, після кожного разу повертаючи модель на 60°.

Гексагексафлексагон — флексагон з шістьма шестикутними поверхнями[1][9][11].

Гексагексафлексагон можна виготовити із смужки довжиною в 19 трикутників. Виготовлення та складання флексагона показано на фотографії.

Виготовлення і розкриття гексагексафлексагона

Діаграма шляху Таккермана

Простий спосіб виявити всі поверхні гексафлексагона — обхід Таккермана — полягає в тому, щоб тримати флексагон за один кут і розкривати модель до тих пір, поки вона не перестане розкриватися, потім повернути флексагон на 60° за годинниковою стрілкою, взятися за сусідній кут і повторити те ж саме[9][11].

При обході Таккермана площини гексагексафлексагону будуть розкриватися в порядку: 1,2,5,1,2,3,4,2,3,1,6,3 (або в зворотному порядку), після чого послідовність повториться. Цю послідовність називають шляхом Таккермана[9][11].

Поверхні флексагона можуть складатися з рівносторонніх або рівнобедрених трикутників, квадратів, п'ятикутників тощо. Флексагон може допускати появу певного числа поверхонь; деякі з них можуть бути аномальними (тобто включають в себе сектори з різними цифрами). Флексагон заданої форми із заданою кількістю площин може бути виготовлений з різних розгорток. Більш того, навіть одна й та ж розгортка може допускати різні варіанти згортання[4][12].

Загальноприйнятої системи найменувань для флексагонов немає. Мартін Гарднер використовував терміни «тетрафлексагон» і «гексафлексагон» для позначення флексагонов, що складаються з квадратів і трикутників відповідно, причому поверхні тетрафлексагона могли складатися з чотирьох або шести квадратів[4]. У книзі Flexagons Inside Out флексагони позначаються за формою секторів (квадратний, п'ятикутний тощо)[13][14]

У більш пізній час — і додекафлексагонамі стали називати флексагони з 8 і 12 трикутними секторами відповідно[12]. Якщо сектори поверхонь флексагона являють собою правильні або трикутник, то крім гексафлексагонів існують трикутні тетра-, пента-, гептил-, октафлексагони[14].

У журналах «Наука і життя» використовувалася в основному система префіксів IUPAC[15][16][17][18].

Гексафлексагон — це флексагон, що має форму правильного шестикутника. Кожна поверхня флексагона складається з шести трикутних секторів.

Існує безліч гексафлексагонов, що різняться за кількістю поверхонь. Відомі гексафлексагони з трьома, чотирма, п'ятьма, шістьма, сім'ю, дев'ятьма, дванадцятьма, п'ятнадцятьма, сорока вісьмома площинами; кількість площин обмежено лише тим, що папір має ненульову товщину[1][2][4][8][11].

Починаючи з гексагексафлексагону, кількість різних гексафлексагонів з однією і тією ж самою кількістю поверхонь стає більше 1: існує 3 гексагексафлексагони, 4 гептагексафлексагони, 12 октафлексагонів, 27 еннагексафлексагонів і 82 декагексафлексагони[4][19].

Зовнішні відеофайли
Флексагони
	7 sided square tetraflexagon Scott Sherman

Найпростіший тетрафлексагон (флексагон з квадратними поверхнями) — тритетрафлексагон, що має три поверхні. У будь-який момент видно лише дві з трьох поверхонь.

Більш складні гексатетрафлексагон і декатетрафлексагон збираються з хрестоподібної розгортки без використання клею[15]. Тетрафлексагони з числом площин 4n + 2 також можна виготовляти з квадратних рамок[4].

З зигзагоподібних смужок паперу можна виготовити тетратетрафлексагон та інші тетрафлексагони з числом площин, яке кратно 4[20].

Кільцевій флексагон — флексагон, поверхня якого являє собою «кільце» з багатокутників. Для найменування кільцевих флексагонов може бути використаний префікс «цирко», наприклад, пентациркодекафлексагон — кільцевий флексагон з п'ятьма площинами, що складаються з десяти багатокутників (п'ятикутників) кожна[21]; тригеміциркогексафлексагон — флексагон з трьома поверхнями, кожна з яких являє собою кільце (цирко) із половинок (гемі) правильних шестикутників (гекса)[17].

Зовнішні відеофайли
Флексагони (Методи складання)
	5 sided Hexaflexagon Scott Sherman Flexagons. Демонстрація «флексів» на прикладі пентагексафлексагону.

Описаний вище метод складання гексафлексагону, що використовували для обходу всіх площин (обходу Таккермана), носить назву pinch flex[10]. Існують наступні методи складання гексафлексагонов :

• pinch flex[10] (виконується на гексафлексагонах з трьома і більше площинами)
• v-flex[22][23] (виконується на гексафлексагонах з чотирма і більше площинами)
• tuck flex[24], «лодочка-гексаедр»[9] (виконується на гексафлексагонах з чотирма площинами і більше).

• Мартін Гарднер. Математичні головоломки и разваги = Mathematical Puzzles and Diversions / Пер. Ю. А. Данилова, под ред. Я. А. Смородинского. — 2-е. — М : Мир, 1999. — ISBN 5-03-003340-8.
• Les Pook. Flexagons Inside Out. — Cambridge University Press. — ISBN 0-521-81970-9.
• Les Pook. Serious Fun with Flexagons: A Compendium and Guide. — 2009 edition (August 17, 2009). — Springer. — 346 с. — ISBN 978-90-481-2502-9.

• А. А. Панов. Флексагоны, флексоры, флексманы // Квант. — 1988. — № 7. — С. 10—14.
• И. Кан. Аномальные флексагоны // Квант. — 1992. — № 10. — С. 57—59.
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 1. — С. 124—125. Тригексафлексагон
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 2. — С. 68—69. Гексагексафлексагон, путь Таккермана
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 3. — С. 154—155. Другие гексафлексагоны
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 8. — С. 149. Переписка с читателями
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1972. — № 3. — С. 142—143. Тетрафлексагоны
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1972. — № 4. — С. 107. Флексотрубка Стоуна
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1975. — № 7. — С. 154—155. Флексотрубка Стоуна (продолжение)
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1975. — № 9. — С. 121—123. Гексатетрафлексагон, декатетрафлексагон, приставки IUPAC
• И. Константинов. Флексагонными тропами // Наука и жизнь. — 1977. — № 2. — С. 92—96, V. Туннельный перевод
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1977. — № 8. — С. 98—99. Пространственные модели диаграмм перевода. Пентациркодекафлексагон
• И. Кан. Гемитетрафлексагоны // Наука и жизнь. — 1992. — № 4. — С. 126—127. Гемитетрафлексагоны
• И. Кан. Гемитетра- и гемигексафлексагоны // Наука и жизнь. — 1993. — № 11. — С. 150—152.
• И. Кан. Треугольные флексагоны // Наука и жизнь. — 1993. — № 12. — С. 42—43.