Формула Гауса — Бонне

Область ${\displaystyle \Omega }$ обмежена. Але вона може бути доволі складною, мати одну або кілька компонент зв'язності:

${\displaystyle (2)\qquad \Omega =\Omega _{1}+\Omega _{2}+\dots }$

Очевидно, що при цьому перший інтеграл в формулі (1) розбивається на суму інтегралів по компонентах. Кожна з цих компонент ${\displaystyle \Omega _{i}}$ в свою чергу може бути топологічно складною.

Зокрема область ${\displaystyle \Omega }$ може повністю покривати замкнутий многовид (наприклад сферу, тор, …) і не мати межі зовсім — тоді другого інтеграла в формулі (1) не буде:

${\displaystyle (3)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma =2\pi \chi (\Omega )}$

В інших випадках межа ${\displaystyle L_{i}}$ області ${\displaystyle \Omega _{i}}$ може складатися з одного контуру (наприклад якщо область гомеоморфна кругу), або більшої кількості контурів ${\displaystyle L_{ij}}$ (наприклад якщо область є кільцем між двома концентричними колами):

${\displaystyle (4)\qquad L_{i}=\sum _{j}L_{ij}}$

В цих випадках інтеграл по межі ${\displaystyle L}$ також розбивається на суму інтегралів по ${\displaystyle L_{ij}}$.

Буквою ${\displaystyle K}$ під першим інтегралом (1) позначено кривиною Гауса другого степеня, яка для двовимірного многовида дорівнює половині скалярної кривини:

${\displaystyle (5)\qquad K=K^{[2]}={R \over 2}}$

Геодезична кривина ${\displaystyle \mathbf {k} _{g}}$ кривої взагалі кажучи є вектором, ортогональним до одиничного дотичного вектора ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={d\mathbf {r} \over ds}}$, і який лежить у многовиді. Але в формулі (1) через ${\displaystyle k_{g}}$ позначено скалярну величину — проекцію вектора геодезичної кривини на напрям нормалі, напрямленої всередину області ${\displaystyle \Omega }$.

Запишемо вищесказане математично. Компоненти вектора геодезичної кривини обчислюються через тензорну похідну одиничного дотичного вектора ${\displaystyle \tau ^{i}}$ по натуральному параметру кривої:

${\displaystyle (6)\qquad k_{g}^{i}={D\tau ^{i} \over Ds}={d\tau ^{i} \over ds}+\Gamma _{jk}^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}}$

Нормаль до вектора ${\displaystyle \tau ^{i}}$ можна утворити дією одиничного антисиметричного тензора ${\displaystyle \varepsilon ^{ij}}$, а тому (при належному виборі напрямку обходу контуру):

${\displaystyle (7)\qquad k_{g}^{i}=k_{g}\varepsilon ^{ij}\tau _{j}}$

Коефіцієнт ${\displaystyle k_{g}}$ в правій частині формули (7) той самий, який стоїть під другим інтегралом в формулі (1).

В попередньому підпункті ми розглядали гладкий контур ${\displaystyle L}$. Але неважко, використовуючи граничний перехід, узагальнити формулу (1) для кусково-гладкої межі яка складається з гладких дуг, що сходяться під деяким кутом між собою (дивіться наприклад статтю Геодезичний трикутник). Якщо в точці зламу ${\displaystyle P_{i}}$ дотичний вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ розвертається на кут ${\displaystyle \phi _{i}}$ в сторону області ${\displaystyle \Omega }$ (може бути додатне чи від'ємне число) то формула (1) узагальнюється до такої:

${\displaystyle (8)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma +\oint _{L}k_{g}ds+\sum _{i}\phi _{i}=2\pi \chi (\Omega )}$

В цій формулі другий інтеграл береться по гладких ділянках дуг межі ${\displaystyle L}$.

Для виводу формули (8) область ${\displaystyle \Omega }$, яка має злами на межі, треба апроксимувати областю ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}}$, яка має згладжені кути. Потім радіус закруглення на кутах спрямовуємо до нуля.

Обмежену двовимірну область ${\displaystyle \Omega }$ можна розбити лініями на кілька менших підобластей ${\displaystyle \Omega _{1},\,\Omega _{2},\dots }$, гомеоморфних кругу. Лінії в свою чергу можна поділити точками на дуги, гомеоморфні відрізку. Якщо позначити кількість точок буквою ${\displaystyle B}$ (вершини графу), кількість дуг буквою ${\displaystyle P}$ (ребра графу), а кількість підобластей буквою ${\displaystyle \Gamma }$ (грані), то наступне ціле число:

${\displaystyle (9)\qquad \chi =B-P+\Gamma }$

не залежить від способу розбивки області ${\displaystyle \Omega }$ і називається характеристикою Ейлера. Для кожної підобласті ${\displaystyle \Omega _{k}}$ можна знайти карту (систему координат ${\displaystyle \{u^{1},\,u^{2}\}}$), яка відображає область Евклідової площини в ${\displaystyle \Omega _{k}}$.

Обчислимо характеристику Ейлера для простої області ${\displaystyle \Omega }$. Межа цієї області є контуром ${\displaystyle L}$, гомеоморфним колу. Поставимо на цьому контурі дві точки ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$, які розбивають наш контур на дві дуги, гомеоморфні відрізку. Маємо дві вершини, два ребра і одну грань — саму область ${\displaystyle \Omega }$, тому за формулою (9) маємо:

${\displaystyle (10)\qquad \chi =B-P+\Gamma =2-2+1=1}$

і нам треба довести наступну формулу для цього випадку:

${\displaystyle (11)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma +\oint _{L}k_{g}ds=2\pi }$

Паралельний обхід контура вектором v

Візьмемо точку ${\displaystyle P}$ на контурі ${\displaystyle L}$. Позначимо буквою ${\displaystyle \mathbf {n} }$ вектор нормалі до контуру, напрямлений всередину області ${\displaystyle \Omega }$. При належному виборі напрямку обходу контуру компоненти цього вектора виражаються через дотичний вектор ${\displaystyle \tau ^{i}}$ та одиничний антисиметричний тензор ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$:

${\displaystyle (12)\qquad n_{i}=\varepsilon _{ij}\tau ^{j}}$

При обході контуру, очевидно, вектори ${\displaystyle \mathbf {n} }$ і ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ повернуться на кут ${\displaystyle 2\pi }$ і збіжаться з початковими значеннями цих векторів.

Щоб простежити, як здійснюється цей поворот, розглянемо паралельне перенесення векторів. Як відомо, при паралельному перенесенні двох векторів зберігаються довжини векторів і кут між ними. Нехай вектори ${\displaystyle \mathbf {v} }$ і ${\displaystyle \mathbf {w} }$ збігаються з векторами ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ і ${\displaystyle \mathbf {n} }$ в початковій точці ${\displaystyle P}$, але потім при обході контуру переносяться паралельно і після обходу виявляються повернутими на деякий кут ${\displaystyle \Delta \alpha }$. Ці два вектора утворюють ортонормований базис:

${\displaystyle (13)\qquad \mathbf {v} ^{2}=\mathbf {w} ^{2}=1,\qquad (\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )=0}$

${\displaystyle (14)\qquad w_{i}=\varepsilon _{ij}v^{j}}$

Розкладемо одиничний дотичний вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ за базисом ${\displaystyle \{\mathbf {v} ,\mathbf {w} \}}$:

${\displaystyle (15)\qquad {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {v} \cos \varphi +\mathbf {w} \sin \varphi }$

де ${\displaystyle \varphi }$ — кут, на який повернутий вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ відносно вектора ${\displaystyle \mathbf {v} }$. На початку обходу ${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}=0}$. В кінці обходу вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ повернеться на кут ${\displaystyle 2\pi }$, а вектор ${\displaystyle \mathbf {v} }$ на кут ${\displaystyle \Delta \alpha }$, тому:

${\displaystyle (16)\qquad \varphi _{1}=2\pi -\Delta \alpha }$

Маємо такі тензорні диференціали векторів вздовж контуру:

${\displaystyle (17)\qquad D\tau ^{i}=d\tau ^{i}+\Gamma _{jk}^{i}\tau ^{j}du^{k}=k_{g}^{i}ds}$

${\displaystyle (18)\qquad Dv^{i}=dv^{i}+\Gamma _{jk}^{i}v^{j}du^{k}=0}$

${\displaystyle (19)\qquad Dw^{i}=dw^{i}+\Gamma _{jk}^{i}w^{j}du^{k}=0}$

тому при диференціюванні рівності (15) одержуємо:

${\displaystyle (20)\qquad k_{g}^{i}ds=-v^{i}\sin \varphi \,d\varphi +w^{i}\cos \varphi \,d\varphi =}$

${\displaystyle =\varepsilon ^{ij}(w_{j}\sin \varphi +v_{j}\cos \varphi )\,d\varphi =\varepsilon ^{ij}\tau _{j}d\varphi }$

Порівнюючи формули (20) і (7) знаходимо:

${\displaystyle (21)\qquad k_{g}ds=d\varphi }$

${\displaystyle (22)\qquad \oint _{L}k_{g}ds=\int _{\varphi _{0}}^{\varphi _{1}}d\varphi =2\pi -\Delta \alpha }$

Порівнюючи формули (22) і (11) одержуємо таку формулу, яку нам лишається довести:

${\displaystyle (23)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma =\Delta \alpha }$

В лівій частині формули (23) стоїть інтеграл по двовимірній області ${\displaystyle \Omega }$, а в правій — поворот вектора при паралельному перенесенні довкола межі ${\displaystyle L}$ області ${\displaystyle \Omega }$, який природно буде виразити через контурний інтеграл. Ці два інтеграла — інтеграл по двовимірній області і інтеграл по межі цієї області можна пов'язати через застосування формули Остроградського-Гауса. Але для цього нам знадобиться допоміжне векторне поле, яке визначене і диференційовне скрізь всередині області ${\displaystyle \Omega }$ та на її межі ${\displaystyle L}$.

Оскільки на контурі ${\displaystyle L}$ нас можуть цікавити лише кути між векторами а не їхні довжини, то доцільно вибрати допоміжне векторне поле ${\displaystyle \mathbf {a} }$ одиничної довжини, причому не лише на контурі, а і скрізь всередині області ${\displaystyle \Omega }$:

${\displaystyle (24)\qquad \mathbf {a} ^{2}=g_{ij}a^{i}a^{j}=g_{11}(a^{1})^{2}+2g_{12}a^{1}a^{2}+g_{22}(a^{2})^{2}=1}$

Очевидно що умова (24) разом з неперервністю поля ${\displaystyle \mathbf {a} }$ накладає деякі обмеження — це поле не може мати всередині ${\displaystyle \Omega }$ точок завихрення або точок, із яких вектори розходяться (або навпаки, сходяться) в різні боки. В усьому іншому поле ${\displaystyle \mathbf {a} }$ досить довільне.

Наприклад (хоч і необов'язково) можна взяти вектор напрямлений вздовж одного з координатних векторів. Коваріантні координати цього вектора:

${\displaystyle (25)\qquad a^{1}={1 \over {\sqrt {g_{11}}}},\qquad a^{2}=0}$

Вектор (a) всередині контура

На контурі ${\displaystyle L}$ розкладемо одиничний вектор ${\displaystyle \mathbf {a} }$ по базису ${\displaystyle \{\mathbf {v} ,\mathbf {w} \}}$:

${\displaystyle (26)\qquad a^{i}=v^{i}\cos \alpha +w^{i}\sin \alpha }$

Тут вектори ${\displaystyle \mathbf {v} }$ і ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ті ж самі що і раніше в цій статті — здійснюють паралельний обхід контуру. Кут ${\displaystyle \alpha }$ між векторами ${\displaystyle ({\widehat {\mathbf {v} ,\mathbf {a} }})}$ є функцією від натурального параметра ${\displaystyle s}$ на контурі ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle (27)\qquad \alpha =\alpha (s);\qquad \alpha (0)=\alpha _{0},\;\alpha (s_{\text{max}})=\alpha _{1}}$

Оскільки при обході контуру вектор ${\displaystyle \mathbf {a} }$ не змінює напрямку, а вектор ${\displaystyle \mathbf {v} }$ повертається на кут ${\displaystyle \Delta \alpha }$ то:

${\displaystyle (28)\qquad \Delta \alpha =-(\alpha _{1}-\alpha _{0})}$

Знак мінус в цій формулі виник внаслідок того, що повертається сам базис, відносно якого ми міряємо ${\displaystyle \alpha }$.

Продиференціюємо формулу (26) вздовж кривої ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle (29)\qquad Da^{i}=(-v^{i}\sin \alpha +w^{i}\cos \alpha )\,d\alpha }$

Тензорний диференціал вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ можна записати через коваріантну похідну:

${\displaystyle (30)\qquad Da^{i}=da^{i}+\Gamma _{jk}^{i}a^{j}du^{k}=\left(\partial _{k}a^{i}+\Gamma _{jk}^{i}a^{j}\right)du^{k}=(\nabla _{k}a^{i})\tau ^{k}\,ds}$

Права ж частина формули (29) виражається через вектор:

${\displaystyle (31)\qquad b_{i}=\varepsilon _{ij}a^{j}=\varepsilon _{ij}\left(v^{j}\cos \alpha +w^{j}\sin \alpha \right)=w_{i}\cos \alpha -v_{i}\sin \alpha }$

який є одиничним вектором, повернутим на кут ${\displaystyle {\pi \over 2}}$ щодо вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$.

Підставивши (30) і (31) в формулу (29), ми одержимо векторне рівняння:

${\displaystyle (32)\qquad (\nabla _{k}a^{i})\tau ^{k}\,ds=b^{i}d\alpha }$

в якому нас цікавить скалярна функція ${\displaystyle \alpha =\alpha (s)}$. Помножимо (32) скалярно на одиничний вектор ${\displaystyle b_{i}}$ і візьмемо інтеграл:

${\displaystyle (33)\qquad \int _{0}^{s_{\text{max}}}(b_{i}\nabla _{k}a^{i})\tau ^{k}\,ds=\int _{0}^{s_{\text{max}}}d\alpha =\alpha _{1}-\alpha _{0}=-\Delta \alpha }$

Інтеграл в лівій частині цієї рівності фактично є інтегралом по контуру. Для застосування формули Остроградського-Гауса нам потрібно, щоб підінтегральний вираз був скалярним добутком деякого вектора ${\displaystyle \mathbf {q} }$ на вектор зовнішньої нормалі (в наших старих позначеннях це ${\displaystyle -n_{i}=-\varepsilon _{ij}\tau ^{j}}$).

Домножимо рівняння (12) на ${\displaystyle \varepsilon ^{ik}}$, після цього знайдемо дотичний вектор ${\displaystyle \tau ^{k}}$:

${\displaystyle (34)\qquad \varepsilon ^{ik}n_{i}=\left(\varepsilon ^{ik}\varepsilon _{ij}\right)\tau ^{j}=\delta _{j}^{k}\tau ^{j}=\tau ^{k}}$

і підставити його в підінтегральний вираз формули (33), одночасно перейменовуючи індекси:

${\displaystyle (35)\qquad (b_{i}\nabla _{k}a^{i})\tau ^{k}=\left(\varepsilon ^{ik}b_{l}\nabla _{k}a^{l}\right)n_{i}}$

Вираз у дужках в правій частині цього рівняння і буде тим вектором ${\displaystyle \mathbf {q} }$:

${\displaystyle (36)\qquad q^{i}=\varepsilon ^{ik}b_{l}\nabla _{k}a^{l}}$

який підставляємо в рівняння (33):

${\displaystyle (37)\qquad \oint _{L}(\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} )ds=-\Delta \alpha }$

Інтеграл являє собою потік вектора ${\displaystyle \mathbf {q} }$ всередину контуру ${\displaystyle L}$, враховуючи наш вибір напрямку нормалі ${\displaystyle \mathbf {n} }$. Застосовуючи формулу Остроградського-Гауса (і враховуючи знак) маємо інтеграл від дивергенції:

${\displaystyle (38)\qquad \iint _{\Omega }({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} )d\sigma =\Delta \alpha }$

Порівнюючи формули (38) і (23) ми бачимо що для завершення першого етапу нам досить перевірити рівність підінтегральних виразів цих формул:

${\displaystyle (39)\qquad K=({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} )=\nabla _{i}q^{i}}$

Дивергенція вектора (36) розкладається на два доданка:

${\displaystyle (40)\qquad \nabla _{j}q^{j}=\nabla _{j}\left(\varepsilon ^{jk}b_{i}\nabla _{k}a^{i}\right)=\varepsilon ^{jk}\left(\nabla _{j}b_{i}\right)\left(\nabla _{k}a^{i}\right)+b_{i}\varepsilon ^{jk}\nabla _{j}\nabla _{k}a^{i}}$

Розпочнемо з другого доданку, а ще краще з частини цього доданку окрім множника ${\displaystyle b_{i}}$. Оскільки тензор ${\displaystyle \varepsilon ^{jk}}$ антисиметричний, то:

${\displaystyle (41)\qquad \varepsilon ^{jk}\nabla _{j}\nabla _{k}a^{i}={1 \over 2}\varepsilon ^{jk}\left(\nabla _{j}\nabla _{k}-\nabla _{k}\nabla _{j}\right)a^{i}={1 \over 2}\varepsilon ^{jk}R_{\,sjk}^{i}a^{s}={1 \over 2}\varepsilon ^{jk}R_{jk}^{is}a_{s}}$

Тензор Рімана для двовимірного многовида можна виразити через кривину Гауса K:

${\displaystyle (42)\qquad R_{jk}^{is}=K\left(\delta _{j}^{i}\delta _{k}^{s}-\delta _{k}^{i}\delta _{j}^{s}\right)}$

Тому вираз (41) спрощується:

${\displaystyle (43)\qquad \varepsilon ^{jk}\nabla _{j}\nabla _{k}a^{i}={K \over 2}\varepsilon ^{jk}\left(\delta _{j}^{i}\delta _{k}^{s}-\delta _{k}^{i}\delta _{j}^{s}\right)a_{s}={K \over 2}2\varepsilon ^{is}a_{s}=Kb^{i}}$

а отже другий доданок формули (40) просто дорівнює Гаусовій кривині:

${\displaystyle (44)\qquad b_{i}\varepsilon ^{jk}\nabla _{j}\nabla _{k}a^{i}=Kb_{i}b^{i}=K}$

Залишається показати, що перший доданок формули (40) дорівнює нулю.

${\displaystyle (45)\qquad \varepsilon ^{jk}\left(\nabla _{j}b_{i}\right)\left(\nabla _{k}a^{i}\right)=0}$

Це прямо слідує з того факту, що похідні одиничного двовимірного вектора факторизуються (розкладаються на множники):

${\displaystyle (46)\qquad \nabla _{j}b_{i}=\lambda _{j}a_{i},\qquad \nabla _{k}a^{i}=\mu _{k}b^{i}}$

Дійсно, підставляючи (46) в (45) одержимо вираз:

${\displaystyle (47)\qquad \left(\varepsilon ^{jk}\lambda _{j}\mu _{k}\right)\left(a_{i}b^{i}\right)}$

в якому скалярний добуток векторів в других дужках дорівнює нулю.

Нарешті покажемо справедливість розкладу (46). Із одиничності вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ слідує:

${\displaystyle (48)\qquad a_{i}\nabla _{k}a^{i}=g_{ij}a^{j}\nabla _{k}a^{i}={1 \over 2}\nabla _{k}\left(g_{ij}a^{j}a^{i}\right)={1 \over 2}\nabla _{k}1=0}$

Оскільки вектор ${\displaystyle \mathbf {b} }$ також ортогональний до ${\displaystyle \mathbf {a} }$ то маємо наступну однорідну систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими ${\displaystyle a_{1},\,a_{2}}$:

${\displaystyle (49)\qquad {\begin{cases}(\nabla _{k}a^{1})a_{1}+(\nabla _{k}a^{2})a_{2}=0\\b^{1}a_{1}+b^{2}a_{2}=0\end{cases}}}$

Ця система має ненульовий розв'язок, тому матриця її коефіцієнтів:

${\displaystyle (50)\qquad {\begin{bmatrix}\nabla _{k}a^{1}&\nabla _{k}a^{2}\\b^{1}&b^{2}\end{bmatrix}}}$

вироджена і рядки цієї матриці пропорційні. Тобто ми маємо друге рівняння (46). Перше рівняння одержується аналогічно.

Формулу (11) доведено.