Теорема косинусів

У тригонометрії закон косинусів (також відомий як формула косинуса, правило косинусу або теорема Аль-Каші) пов'язує довжини сторін трикутника з косинусом одного з його кутів. Нехай ${\displaystyle a,b,c}$ сторони трикутника ${\displaystyle ABC}$, а ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ це його кути, протилежні вказаним сторонам. Тоді,

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \;}$;

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }$;

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta }$.

Позначення кутів і сторін трикутника

Ця формула корисна для знаходження третьої сторони трикутника якщо відомі інші дві сторони та кут між ними, та для знаходження його кутів, якщо відомі довжини його сторін.[1]

Із теореми косинусів: Косинус деякого кута трикутника дорівнює відношенню суми квадратів сторін, прилеглих до цього кута без квадрата протилежної йому сторони до подвоєного добутку прилеглих до кута сторін.

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$;

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}}$;

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$.

Якщо ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\;}$ ⇔ ${\displaystyle \cos \gamma =0.\;}$

Твердження ${\displaystyle \cos \gamma =0}$ означає, що ${\displaystyle \gamma =90^{\circ }}$ є прямим кутом, оскільки ${\displaystyle a,b}$ додатні. Іншими словами, це теорема Піфагора. Хоча теорема косинусів є загальнішою ніж теорема Піфагора, вона не може використовуватись для її доказу, оскільки теорема Піфагора сама використовується для доведення теореми косинусів.

За теоремою Піфагора у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Якщо для довільного трикутника порівнювати квадрат сторони з сумою квадратів двох інших сторін, то, як зрозуміло з теореми косинусів, що буде більше залежить від того чи буде кут між цими сторонами гострим чи тупим. А саме, якщо квадрат сторони трикутника менший за суму квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є гострим:

${\displaystyle a^{2}<b^{2}+c^{2}}$ або ${\displaystyle b^{2}+c^{2}-a^{2}>0}$, то ${\displaystyle \alpha }$ — гострий. Якщо квадрат деякої сторони трикутника більший від суми квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є тупим:

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін

${\displaystyle a^{2}>b^{2}+c^{2}}$ або ${\displaystyle b^{2}+c^{2}-a^{2}<0}$, то ${\displaystyle \alpha }$ — тупий. Якщо квадрат деякої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є прямим:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}$ або ${\displaystyle b^{2}+c^{2}-a^{2}=0}$, то ${\displaystyle \alpha }$ — прямий.

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін. Для паралелограма ${\displaystyle ABCD}$ можна записати рівність:

${\displaystyle AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}}$[2].

Трикутник

Нехай ${\displaystyle a,b,c}$ це сторони трикутника ${\displaystyle ABC}$, а A, B і C - це кути протилежні цим сторонам. Проведемо відрізок з вершини кута B, що утворює прямий кут із протилежною стороною b. Якщо довжина цього відрізка x, тоді ${\displaystyle \sin C={\frac {x}{a}},\;}$ звідки ${\displaystyle x=a\cdot \sin C.\;}$

Це означає, що довжина цього відрізку ${\displaystyle a\cdot \sin C.}$ Схожим чином, довжина частини b що з'єднує точку перетину відрізку із стороною b та кут C рівна ${\displaystyle a\cdot \cos C.}$ Решта довжини b рівна ${\displaystyle b-a\cdot \cos C.}$ Ми маємо два прямокутних трикутники, один з катетами ${\displaystyle a\cdot \sin C,\;}$ ${\displaystyle b-a\cdot \cos C,\;}$ і гіпотенузою c. Звідси, відповідно до теореми Піфагора:

• ${\displaystyle c^{2}=(a\cdot \sin C)^{2}+(b-a\cdot \cos C)^{2}\;}$
• ${\displaystyle c^{2}=a^{2}\cdot \sin ^{2}C+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos C+a^{2}\cdot \cos ^{2}C\;}$
• ${\displaystyle c^{2}=a^{2}\cdot (\sin ^{2}C+\cos ^{2}C)+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos C\;}$
• ${\displaystyle \sin ^{2}C+\cos ^{2}C\;}$ завжди 1, отже
• ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos C\;}$

Векторний трикутник

Використовуючи вектори, ми можемо легко довести теорему косинусів. Нехай ми маємо довільний трикутник із вершинами A, B, і C що утворений векторами a, b, і c, нам відомо, що:

• ${\displaystyle \mathbf {a=b-c} }$ звідси
• ${\displaystyle \mathbf {(b-c)\cdot (b-c)=b\cdot b-2b\cdot c+c\cdot c} .\;}$

Згадавши чому дорівнює добуток двох векторів, отримаємо

• ${\displaystyle \mathbf {|a|^{2}=|b|^{2}+|c|^{2}-2|b||c|} \cos \theta .}$

Теорема косинусів була доведена геометрично в «Началах» Евкліда. «Начала» відіграли важливу роль у розвитку математичної науки. Історичне значення цієї праці полягає в тому, що в ній уперше здійснено спробу логічної побудови геометрії на основі аксіоматики. Стихії Евкліда проклали шлях до відкриття закону косинусів. У XV столітті перський математик і астроном Джамшид аль-Каші подав перше явне твердження закону косинусів у формі, придатній для тріангуляції. Він надав точні тригонометричні таблиці та висловив теорему у формі, придатній для сучасного використання. Теорема косинусів була вперше сформульована і набула популярності у західному світі французьким математиком Франсуа Вієтом в XVI столітті. На початку XIX століття її стали записувати як теорему косинусів у її нинішній символічній формі.

• Триангуляція
• Теорема синусів
• Теорема тангенсів
• Теорема косинусів (сферична геометрія)

• Декілька доказів теореми косинусів, включаючи запропонований Евклідом (англ.)