Фундаментальна область

Фундаментальною областю групи рухів G називається така множина F точок простору, що для будь-якої точки x простору є рівно одна точка її G-орбіти в F.

Квадрат ${\displaystyle [0,1)\times [0,1)}$ є фундаментальною областю ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ по відношенню до групи ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$.

Точку ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ можна записати у вигляді ${\displaystyle (u+n,v+m)}$ з ${\displaystyle (u,v)\in [0,1)\times [0,1),(n,m)\in \mathbb {Z} ^{2}}$.

Ґратка на комплексній площині та її фундаментальна область (фактор-простір — тор).

Якщо задано дію групи G на топологічному просторі X за допомогою гомеоморфізмів, фундаментальна область для таких дій — це множина D представників орбіт. Звичайно потрібно, щоб ця множина була топологічно простою і задавалася одним з кількох конкретних способів. Звичайне умова — щоб D була майже відкритою множиною в тому сенсі, що D має бути симетричною різницею відкритої множини в G з множиною нульової міри для деякої (квазі) інваріантної міри на X. Фундаментальна область завжди містить вільну регулярну множину U, відкриту множину, яка пересувається дією G в незв'язні копії і майже так само, як D, є орбітами. Часто потрібно, щоб D було повною множиною представників суміжних класів з деякими повтореннями, але щоб повторювана частина мала нульову міру. Це звичайна ситуація в ергодичних теоріях. Якщо фундаментальна область використовується для обчислення інтеграла на X/G, множина нульової міри ролі не грає.

Наприклад, якщо X є евклідовим простором Rn розмірності n і G — ґратка Zn, що діє на ній як паралельні перенесення, фактор-прострором X/G буде n-вимірний тор. Можна взяти в якості фундаментальної області D [0,1) n, що відрізняється від відкритої множини (0,1) n на множину нульової міри, або замкнутий одиничний куб [0,1] n, межа якого складається з точок, орбіти яких мають більше одного представника в D.