Симетрична різниця множин

Симетричну різницю можна визначити двома способами:

• симетрична різниця двох заданих множин А та В — це така множина A △ B, куди входять всі ті елементи першої множини, які не входять в другу множину, а, також ті елементи другої множини, які не входять в першу множину:

${\displaystyle (A\triangle B)=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$

• симетрична різниця двох заданих множин A і B — це така множина A △ B, куди входять всі ті елементи обох множин, які не є загальними для двох заданих множин.

${\displaystyle (A\triangle B)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}$

• Симетрична різниця є бінарною операцією у будь-якому булеані;
• Симетрична різниця є комутативною: ${\displaystyle A\bigtriangleup B=B\,\triangle \,A;}$
• Симетрична різниця є асоціативною: ${\displaystyle \left(A\bigtriangleup B\right)\,\triangle \,C=A\bigtriangleup \left(B\,\triangle \,C\right);}$
• Перетин множин  є дистрибутивним відносно симетричної різниці: ${\displaystyle A\cap \left(B\bigtriangleup C\right)=\left(A\cap B\right)\bigtriangleup \left(A\cap C\right);}$
• Порожня множина є нейтральним елементом симетричної різниці:  ${\displaystyle A\bigtriangleup \varnothing =A;}$
• Будь-яка множина обернена сама собі відносно операції симетричної різниці: ${\displaystyle A\bigtriangleup A=\varnothing$ ;}
• Булеан з операцією симетричної різниці є абелевою групою;
• ${\displaystyle \left(A_{1}\cap A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cap B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);}$
• ${\displaystyle \left(A_{1}\cup A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cup B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);}$
• ${\displaystyle \left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\setminus B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);}$
• Об'єднання симетричної різниці з перетином двох множин дорівнює об'єднанню вихідних множин ${\displaystyle (A\bigtriangleup B)\cup (A\cap B)=A\cup B}$;
• Між симетричною різницею та об'єднанням множин такий зв'язок:

${\displaystyle A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$

• Зв'язок з операцією перетину множин такий:

${\displaystyle (A\triangle B)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}$

Симетрична різниця AΔB

1. Нехай

${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},\quad B=\{3,4,5,6,7\}.}$

Тоді

${\displaystyle A\,\triangle \,B=\{1,2,6,7\}.}$

2. Симетрична різниця множини усіх студентів та усіх осіб жіночої статі, містить множину усіх студентів-чоловіків та усіх жінок, які не є студентами.

• Множина

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — Москва : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)