Нуль в нульовому степені

Дискусія з приводу визначення ${\displaystyle 0^{0}}$ триває, принаймні, з початку XIX століття. Багато математиків тоді приймали цю угоду, але в 1821 році Коші[3] відніс ${\displaystyle 0^{0}}$ до невизначеностей, таких, як ${\displaystyle {\frac {0}{0}}.}$ У 1830-х роках Лібрі[4][5] опублікував непереконливий аргумент на користь ${\displaystyle 0^{0}=1}$ (див. Функція Гевісайда § Історія), і Мебіус[6] став на його сторону, помилково заявивши, що ${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1}$ щоразу, коли ${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0}$. Оглядач, який підписався просто як «S», надав контрприклад ${\displaystyle (e^{-1/t})^{t}}$, і це трохи заспокоїло дебати. Більше історичних деталей можна знайти в книзі Кнута (1992)[7] .

Пізніші автори інтерпретують описану вище ситуацію по-різному. Деякі стверджують, що оптимальне значення для ${\displaystyle 0^{0}}$ залежить від контексту, і тому визначити його раз і назавжди проблематично[8]. Згідно з Бенсоном (1999), «вибір, чи слід визначати ${\displaystyle 0^{0},}$ ґрунтується на зручності, а не на правильності. Якщо ми утримаємося від визначення ${\displaystyle 0^{0}}$, то деякі твердження стають надмірно незручними. <…> Консенсус полягає у використанні визначення ${\displaystyle 0^{0}=1}$, хоча є підручники, які утримуються від визначення ${\displaystyle 0^{0}}$»[9].

Частина математиків вважає, що ${\displaystyle 0^{0}}$ має бути визначено як 1. Наприклад, Кнут (1992) впевнено стверджує, що ${\displaystyle 0^{0}}$ «має бути 1», розрізняючи значення ${\displaystyle 0^{0}}$, яке має дорівнювати 1, як це було запропоновано Лібрі, і граничну форму ${\displaystyle 0^{0}}$ (абревіатура для границі ${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$ де ${\displaystyle f(x),g(x)\to 0}$), яка обов'язково є невизначеністю, як зазначено Коші: «І Коші, й Лібрі мали рацію, але Лібрі та його захисники не розуміли, чому істина на їхньому боці»[7].

Авторитетний сайт MathWorld, навівши думку Кнута, все ж констатує, що зазвичай значення ${\displaystyle 0^{0}}$ вважається невизначеним, незважаючи на те, що домовленість ${\displaystyle 0^{0}=1}$ дозволяє в деяких випадках спростити запис формул[10]. Велика радянська енциклопедія та деякі інші джерела характеризують ${\displaystyle 0^{0}}$ як вираз, що не має сенсу (невизначеність).

Якщо дано дві функції ${\displaystyle f(x)}$ і ${\displaystyle g(x)}$, які прямують до нуля, то границя ${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$ в загальному випадку може бути будь-якою, таким чином, з цієї точки зору ${\displaystyle 0^{0}}$ є невизначеністю. Для знаходження границі ${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$ в цьому випадку користуються методами розкриття невизначеності, як правило спочатку взявши логарифм від цього виразу: ${\displaystyle \ln \left(f(x)^{g(x)}\right)=\ln {\big (}f(x){\big )}g(x)}$, а потім скориставшись правилом Лопіталя.

Однак, за певних умов ця границя буде завжди дорівнювати одиниці. А саме: якщо функції ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ є аналітичними в точці ${\displaystyle 0}$ (тобто в деякому околі точки ${\displaystyle 0}$ збігаються зі своїм рядом Тейлора), і ${\displaystyle f(0)=g(0)=0}$, а ${\displaystyle f(x)>0}$ в околі ${\displaystyle (0,\delta )}$, то границя ${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$ при ${\displaystyle x}$ яке прямує до нуля справа дорівнює 1[11][12][13].

Наприклад, таким чином можна відразу переконатися, що

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1,}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}(\sin x)^{\operatorname {tg} x}=1,}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{x+1}-x\right)^{x}=1.}$

При цьому треба не забувати, що якщо хоча б одна з функцій не розкладається в ряд Тейлора в точці 0, то границя може бути будь-якою, або її може не існувати. Наприклад,

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{a/\ln x}=e^{a},}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{-1/x}\right)^{x}=e^{-1}.}$

Стандарт IEEE 754-2008, що описує формат подання чисел з рухомою комою, визначає три функції піднесення до степеня[14]:

• Функція для піднесення до цілого степеня: ${\displaystyle \operatorname {pown} (x,y)}$ . Відповідно до стандарту, ${\displaystyle \operatorname {pown} (x,0)=1}$ для будь-якого ${\displaystyle x}$, зокрема, коли ${\displaystyle x}$ дорівнює нулю, NaN або нескінченності.
• Функція для піднесення до довільного степеня: ${\displaystyle \operatorname {powr} (x,y)}$ — по суті рівна ${\displaystyle \exp {\big (}y\log(x){\big )}}$. Відповідно до стандарту, ${\displaystyle \operatorname {powr} (\pm 0,\pm 0)}$ повертає значення «не числ» NaN.
• Функція для піднесення до довільного степеня, яка особливо визначена для цілих чисел: ${\displaystyle \operatorname {pow} (x,y)}$. Відповідно до стандарту, ${\displaystyle \operatorname {pow} (x,\pm 0)=1}$ для всіх ${\displaystyle x}$ (так само як і ${\displaystyle \operatorname {pown} (x,0)}$).

У багатьох мовах програмування нуль в нульовому степені дорівнює 1. Наприклад, в C++: pow(0, 0) == 1, у мові Haskell це правильно для всіх трьох стандартних операцій піднесення до степеня: 0^0 == 1, 0^^0 == 1, 0**0 == 1.

• Степенная функция // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / главн. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : «Советская энциклопедия», 1969—1978. (рос.)