Дельта-функція Дірака

δ-функція визначається формальним співвідношенням

${\displaystyle (\delta ;f)\;=\;\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (x-a)f(x)\;dx=f(a)}$

для будь-якої неперервної функції ${\displaystyle f(x)\,}$.

Для дельта-функції однієї змінної справедливі такі рівняння:

• ${\displaystyle \delta (x)=0,\qquad \forall x\not =0}$.
• ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1}$.
• ${\displaystyle x\delta ^{\prime }(x)=-\delta (x)}$.
• ${\displaystyle \delta (f(x))=\sum _{k}{\frac {\delta (x-x_{k})}{|f'(x_{k})|}}}$, де ${\displaystyle x_{k}}$ — нулі функції ${\displaystyle f(x)}$.

У багатьох випадках зручним виявляється таке представлення дельта-функції:

Розглянемо інтеграл

${\displaystyle I(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{i\omega t}\,d\omega }$,    (1)

який можна інтерпретувати як границю

${\displaystyle I(t)=\lim _{N=\infty }\int _{-N}^{N}e^{i\omega t}\,d\omega =\lim _{N=\infty }2\pi N{\frac {\sin {tN}}{\pi tN}}}$.    (2)

Відомо, що

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin {t}}{t}}\,dt=\pi }$.    (3)

Як наслідок з (3) для будь-якого ${\displaystyle N\,}$ справедлива рівність:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }2N{\frac {\sin {tN}}{tN}}\,dt=2\pi }$.    (4)

Можна показати, що при необмеженому зростанні ${\displaystyle N\,}$ виявляються правильними всі властивості дельта-функції і функція (2) прямує до ${\displaystyle \delta (t)\,}$; це дозволяє зробити висновок, що:

${\displaystyle I(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\omega t}\,d\omega =2\pi \delta (t)}$.

Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції ${\displaystyle \delta (x)}$:

${\displaystyle \int f(x)\delta ^{[n]}(x)\,dx=-\int {\frac {\partial f}{\partial x}}\delta ^{[n-1]}(x)\;dx}$.

Підставивши ${\displaystyle f(x)=xg(x)\,\!}$, одержимо вираз:

${\displaystyle \int xg(x)\delta ^{\prime }(x)\;dx=-\int \delta (x){\frac {\partial }{\partial x}}[xg(x)]\;dx}$.

Після перетворення маємо:

${\displaystyle -\int \delta (x)[g(x)+xg^{\prime }(x)]\;dx=-\int g(x)\delta (x)\;dx}$.

Оскільки ${\displaystyle \int xg^{\prime }(x)\delta (x)\;dx=0}$, одержуємо остаточний вираз

${\displaystyle x\delta ^{\prime }(x)=-\delta (x)}$.

У загальному вигляді вираз похідної дельта-функції записується так:

${\displaystyle \int [x^{n}f(x)]\delta ^{n}(x)\;dx=(-1)^{n}\int {\frac {\partial ^{n}[x^{n}f(x)]}{\partial x^{n}}}\delta (x)\;dx}$.

Для довільної дельта-функції справджуються наступні тотожності:

${\displaystyle \delta ^{\prime }(-x)=-\delta ^{\prime }(x)}$;

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta ^{\prime }(x-a)\;dx=-f^{\prime }(a)}$;

${\displaystyle \int \limits _{-1}^{1}\delta \left({\frac {1}{x}}\right)\;dx=0}$.

До дельта-функції ${\displaystyle x(t)=\delta (t)}$ можна застосувати перетворення Фур'є:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=e^{-i2\pi f\cdot 0}=1}$

в результаті одержуємо, що спектр δ-функції є константою: ${\displaystyle F(\delta )=1}$.

Доведено, що похідна функції Гевісайда дорівнює дельта-функції. Тобто Функція Гевісайда — первісна дельта-функції:

${\displaystyle H(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\delta (t)\,dt}$.

Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції

${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}H(t)}$,

одержимо її образ у вигляді:

${\displaystyle {\frac {1}{i\omega }}+{\pi }\delta (t)}$.

У двовимірному просторі:

${\displaystyle \iint \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta ^{2}(x,\;y)\,dx\,dy=1}$;

${\displaystyle \delta (ax,\;by)={\frac {1}{\left|ab\right|}}\delta ^{2}(x,\;y)}$;

${\displaystyle \delta ^{2}(x,\;y)=\delta (x)\delta (y)\,\!}$.

У полярних координатах:

${\displaystyle \delta ^{2}(x,\;y)={\frac {\delta (r)}{\pi \left|r\right|}}}$.

У тривимірному просторі:

${\displaystyle \iiint \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta ^{3}(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1}$;

${\displaystyle \delta ^{3}(x,\;y,\;z)=\delta (x)\delta (y)\delta (z)\,\!}$.

У циліндричній системі:

${\displaystyle \delta ^{3}(r,\;\theta ,\;z)={\frac {\delta (r)\delta (z)}{\pi r}}}$.

У сферичній системі відліку:

${\displaystyle \delta ^{3}(r,\;\theta ,\;\phi )={\frac {\delta (r)}{2\pi r^{2}}}\,\!}$.

Функція Гевісайда

• Кудрявцев Л. Д. «Краткий курс математического анализа, том 2», ISBN 5-9221-0185-4
• Кучерук І. М., Горбачук І. Т., Луцик П. П. Загальний курс фізики : навч. посібник у 3-х т. — Київ : Техніка, 2006. — Т. 2 : Електрика і магнетизм.