Чисельні методи в механіці рідини

Центральним процес в CFD є процес дискретизації. Таким чином, замість того, щоб знаходити розв'язок на усьому часовому проміжку, достатньо знаходити розв'язки з певним періодом на скінченній кількості моментів часу. Рівняння з частинними похідними потім зводиться до системи алгебраїчних рівнянь, які з легкістю розв'язуються на комп'ютері. Процес дискретизації породжує похибки. Характер і характеристики похибок необхідно контролювати для того, щоб гарантувати, що:

• ми розв'язуємо правильне рівняння;
• похибка зменшується із збільшенням кількості ступенів свободи  (стійкість та збіжність).

Після того, як ці два критерії встановлені, можна використовувати потужність обчислювальних машин, для розв'язання цієї задачі числовим методом. Для різних задач було розроблено різні методи дискретизації. Найбільш значущими методами для даної задачі є: скінченно різницеві методи, методи скінченних об'ємів, методи скінченних елементів, а також спектральні методи.

Обчислення нескінченно малих границь похідних функцій можна замінити скінченними різницями: 

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}f'(x)={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

із скінченним наближенням.

${\displaystyle f'(x)={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+O(\Delta x)}$

Де ${\displaystyle O(\Delta x)}$ величина похибки, котра залежить від розміру сітки.В цьому випадку, похибка зменшується вдвічі, якщо крок сітки зменшується вдвічі _x, і ми говоримо, що це метод першого порядку. Більшість МСР на практиці використовується, принаймні, другого порядку точності. Метод скінченних різниць залишається найпопулярнішим чисельним методом розв'язання рівнянь в частинних похідних через його простоту, ефективність та низьку обчислювальну складність. його основний недолік полягає в його геометричній негнучкості, що ускладнює його застосування в загальних складних областях. Подібні проблеми можуть бути вирішені шляхом використання простих методів відображення і / або маскування, щоб відповідати обчислювальній сітці в розрахунковій області. 

Метод кінцевих елементів був розроблений для розв'язання задач зі складними обчислювальними областями. МСЕ спочатку зводиться в варіаційної форми, яка по суті змушує середню похибку загальних обчислень. Крок дискретизації відбувається шляхом ділення розрахункової області на елементи трикутної або прямокутної форми. Розв'язання в рамках кожного елемента інтерполюється з поліномом зазвичай низького порядку. Знову ж, невідомими є розв'язки в точках колокації. CFD співтовариство прийняло МСЕ в 1980-х роках, коли було розроблені надійно методи боротьби з проблемою адвекції.

 Методи скінченних елементів та методи скінченних різниць низького порядку, як правило, 2-го - 4-го порядку, і мають локальні властивості апроксимації. Локальні означає, що конкретна точка колокації залежать від обмеженого числа точок навколо неї. На противагу цьому, спектральний метод неперервним. Функції інтерполяції, або поліноми або тригенометричні функції є неперервними. Їх головні переваги в швидкості збіжності, яка залежить від їх гладкості (тобто, кількості існування неперервних похідних). Для неперервно гладкої функції, похибка зменшується експоненціально. Спектральні методи в основному використовуються в розрахунках однорідної турбулентності, і вимагають відносно простих геометричних форм. Атмосферна модель також прейняла спектральні методи через їх властивості збіжності і правильні сферичні форми їх розрахункової області.

Методи скінченних об'ємів в основному використовуються в аеродинамічних обчисленнях, де відбуваються сильні удари і стрибки в розчині. Методи скінченних об'ємів вирішує інтегральну форму основних рівнянь, так що властивість локальнї неперервності не є необхідною.

 Обчислювальний час, для вирішення системи рівнянь істотно відрізняється для різних методів. Метод скінченних різниць, як правило, найменш затратний в розрахунку на основі точки сітки на відміну від методу скінченних елементів і спектральним методом. Спектральні методи забезпечують більшу точність в розрахунку на основі точки сітки, ні відміну від МСЕ або СРМ. Порівняння є більш доречним, якщо питання стоїть наступним чином, «яка складність обчислення для досягнення заданого рівня похибки?». Проблема досягнення певного рівня похибки стає однією з найвищих в загальному випадку.

${\displaystyle {\frac {u^{n+1}-u^{n}}{\Delta t}}\approx \kappa u^{n}}$

 Рівняння є явним наближенням до вихідного диференціального рівняння, так як немає ніякої інформації про невідому функції в майбутньому (n + 1)_t яка використовується в правій частині рівняння. Для того, щоб отримати похибку наближення, необхідно знову звернутися до ряду Тейлора.

Це приклад неявного методу, оскільки невідоме значення u(n + 1) було використано при оцінці нахилу розв'язку з правої сторони; це не є проблемою, щоб вирішити для u(n + 1) в скалярному і лінійному випадку. Для більш складних ситуацій, таких як нелінійна права сторона або системи рівнянь, нелінійна система рівнянь може бути оберненою.

1. Zalesak, S. T., 2005. The design of flux-corrected transport algorithms for structured grids. In: Kuzmin, D., Löhner, R., Turek, S. (Eds.), Flux-Corrected Transport. Springer
2. Zalesak, S. T., 1979. Fully multidimensional flux-corrected transport algorithms for fluids. Journal of Computational Physics.
3. Leonard, B. P., MacVean, M. K., Lock, A. P., 1995. The flux integral method for multi-dimensional convection and diffusion. Applied Mathematical Modelling.
4. Shchepetkin, A. F., McWilliams, J. C., 1998. Quasi-monotone advection schemes based on explicit locally adaptive dissipation. Montlhy Weather Review
5. Jiang, C.-S., Shu, C.-W., 1996. Efficient implementation of weighed eno schemes. Journal of Computational Physics
6. Finlayson, B. A., 1972. The Method of Weighed Residuals and Variational Principles. Academic Press.
7. Durran, D. R., 1999. Numerical Methods for Wave Equations in Geophysical Fluid Dynamics. Springer, New York.
8. Dukowicz, J. K., 1995. Mesh effects for rossby waves. Journal of Computational Physics
9. Canuto, C., Hussaini, M. Y., Quarteroni, A., Zang, T. A., 1988. Spectral Methods in Fluid Dynamics. Springer Series in Computational Physics. Springer-Verlag, New York.
10. Butcher, J. C., 1987. The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations. John Wiley and Sons Inc., NY.
11. Boris, J. P., Book, D. L., 1973. Flux corrected transport, i: Shasta, a fluid transport algorithm that works. Journal of Computational Physics