Число Моцкіна

Малюнки демонструють 9 способів поєднати 4 точки на колі хордами, які не перетинаються:

А ці показують 21 спосіб з'єднати 5 точок:

Числа Моцкіна задовольняють рекурентним співвідношенням

${\displaystyle M_{n}=M_{n-1}+\sum _{i=0}^{n-2}M_{i}M_{n-2-i}={\frac {2n+1}{n+2}}M_{n-1}+{\frac {3n-3}{n+2}}M_{n-2}.}$

Числа Моцкіна можуть бути виражені через біноміальні коефіцієнти і числа Каталана:

${\displaystyle M_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}C_{k}.}$

Просте число Моцкіна — це число Моцкіна, яке є простим, таких відомо чотири:

2, 127, 15511, 953467954114363... послідовність A092832 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Число Моцкіна для n також є кількістю додатних цілих послідовностей довжини n-1, у яких початковий і кінцевий елементи дорівнюють 1 або 2, а різниця між будь-якими двома послідовними елементами дорівнює -1, 0 або 1.

Також число Моцкіна для n задає кількість маршрутів з точки (0, 0) до точки (n, 0) за n кроків, якщо дозволено переміщуватися лише вправо (вгору, вниз або прямо) на кожному кроці, і забороняється опускатися нижче осі y = 0.

Наприклад, на рисунку показано 9 можливих шляхів Моцкіна від (0, 0) до (4, 0):

Існує щонайменше чотирнадцять різних проявів чисел Моцкіна в різних галузях математики, які перерахували Донагі та Шапіро 1977 року в своєму огляді чисел Моцкіна.[1]

Гвіберт, Пергола та Пінзані 2001 року показали, що вексилярні інволюції^{[прояснити]} перераховані числами Моцкіна.[2]

• Числа Деланоя
• Числа Нараяни
• Числа Шредера

• Bernhart, Frank R. (1999). Catalan, Motzkin, and Riordan numbers. Discrete Mathematics 204 (1-3): 73–112. doi:10.1016/S0012-365X(99)00054-0.
• Motzkin, T. S. (1948). Relations between hypersurface cross ratios, and a combinatorial formula for partitions of a polygon, for permanent preponderance, and for non-associative products. Bulletin of the American Mathematical Society 54 (4): 352–360. doi:10.1090/S0002-9904-1948-09002-4.

• Weisstein, Eric W. Motzkin Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.