1 (число)

Ряд мислителів Стародавньої Греції не розглядали один як число: вони вважали його втіленням єдиності, вважаючи при цьому першим «справжнім» числом два — найменше втілення множинності[1]. Платон розглядав одиницю не як початок числового ряду, а як щось неподільне (який-небудь безперервний процес, геометрична фігура, думки про що-небудь).

Ямвліх розглядав одиницю як «ідею ідей» та «ейдос всіх ейдосів»[2]. Антична естетика розглядала одиницю як створюючу і керуючу, встановлюючу рівновагу, логос.

У математиці інків одиниця позначалась в кіпу у вигляді вузла у вигляді вісімки[3].

У 1585 році Сімон Стевін у трактаті «De Thiende» популяризував десяткові дроби, а крім того, доводив, що одиниця є числом, подібно до інших чисел.[4].

Існування одиниці є однією з аксіом арифметики Пеано, що була запропонована в кінці 1880-х.

У XX столітті багато понять з математики були переформульовані у термінології теорії множин. Серед них була і одиниця. Прикладом одного з таких формулювань можна вважати означення одиниці з роботи 1954 року авторства Ніколя Бурбакі:

${\displaystyle \tau _{Z}((\exists u)(\exists U)(u=(U,\{\varnothing \},Z)\land U\subset \{\varnothing \}\times Z\land (\forall x)((x\in \{\varnothing \})\Rightarrow (\exists y)((x,y)\in U)\land (\forall x)(\forall y)(\forall y')(((x,y)\in U\land (x,y')\in U)\Rightarrow (y=y'))\land (\forall y)((y\in Z)\Rightarrow (\exists x)((x,y)\in U))))}$[5]

Єдине додатне число, яке дорівнює взаємно оберненому (при умові ${\displaystyle 1/x=y}$ x дорівнює y).

Для будь-якого числа x:

x·1 = 1·x = x (див. множення). Як результат, 1 є автоморфним числом в будь-якій позиційній системі числення.

x/1 = x (див. ділення)

x¹ = x, 1^x = 1, і для ненульового числа x, x⁰ = 1)

x↑↑1 = x and 1↑↑x = 1 (див. суперступінь).

Число 1 не може бути використаним як основа позиційної системи числення. Оскільки квадрат, куб та будь-яка інша ступінь числа 1 дорівнює одиниці, неможливо брати логарифми від числа, не рівного 1, за основою 1. З іншого боку, існує унарна система числення, кожне число ${\displaystyle N}$ в якій виражається рядом одиниць довжиною ${\displaystyle N}$.

Зараз в математиці прийнято не відносити одиницю ні до простих, ні до складених чисел. Останній з професійних математиків, хто розглядав 1 як просте число, був Анрі Лебег у 1899 році. При цьому багато непрофесіоналів роблять подібну помилку і зараз: так, Карл Саган включив 1 в перелік простих чисел в своїй книзі «Контакт», що вийшла у 1985 році.

Число 1 є:

• факторіалом числа 1
• факторіалом числа 0
• першим і другим числами Фібоначчі
• нульовим і першим числом Каталана
• першим числом Мерсенна (2¹ − 1)
• першим трикутним, квадратним, п'ятикутним і т. д. числом
• першим щасливим числом
• максимальним значенням розряду в двійковій системі числення
• 10¹ називається десять, префікси SI: 10¹ дека (да) і 10⁻¹ деци (д)

Число 1 — найменше натуральне число більше за нуль (чи є нуль натуральним числом — залежить від прийнятих домовленостей), або, за іншим формулюванням — єдине натуральне число, якому не передує інше число. Іноді за визначення 1 приймають тверждення «при множенні одиниці на будь-яке інше число в результаті отримується це ж число», а натуральні числа визначають, виходячи з визначень одиниці та операції додавання.

Одиниця також використовується у математичному відношенні чотирьох констант математики — власне одиниці, e, π та i: ${\displaystyle e^{(2\pi i)}=1\,\!}$

У представленні фон Неймана для натуральних чисел, 1 визначається як множина {0}. Ця множина має кардинальність 1 та наслідковий ранг 1. Такі множини з єдиним елементом називаються синглетонами.

Алгебраїчна структура кільце відрізняється від групи наявністю другої операції (множення) і одиниці.

Символ, що використовується сьогодні для позначення числа 1, вертикальна лінія, часто із засічкою у верхній частині і іноді горизонтальною рискою внизу, походить із Індії, які спочатку записували число 1 у вигляді горизонтальної лінії, схожої на китайський символ 一. У письмі Гупта цей символ мав вигляд хвилястої лінії, а у Наґарі іноді додавали невелике коло ліворуч (повернутий на чверть праворуч, цей символ подібний до написання числа 9 перетворився на подібний сьогоднішньому символу 1 в писемності Гуджараті і Пенджабі). В Непалі його теж повертали праворуч, але зберегли маленьке коло.[6] Зрештою це перетворилося на засічку зверху у сучасному написанні цифри, але випадково коротка горизонтальна лінія знизу ймовірно запозичена від римського числа I.

• Через одну точку можна провести нескінченну кількість прямих
• Через одну пряму можна провести нескінченну кількість площин
• Через будь-яку точку сфери проходить єдина дотична площина
• Через будь-яку точку сфери можна провести нескінченну кількість дотичних прямих, причому всі вони лежать в дотичній площині

• Атомний номер водню.

• Позначається інтервал прима
• Список Перших симфоній

• Роки
  • 1 рік;
  • 1 рік до н. е.
  • 1701 рік
  • 1801 рік
  • 1901 рік
  • 2001 рік
• Дати:
  • 1 січня | 1 лютого | 1 березня | 1 квітня | 1 травня | 1 червня | 1 липня | 1 серпня | 1 вересня | 1 жовтня | 1 листопада | 1 грудня
• Місяць
  • січень

• В кирилиці числове значення літери а (аз)
• ASCII-код керуючого символу SOH (start of heading).
• 1 — шифр англійської мови в міжнародному коді книг — ISBN
• У Землі один природний супутник — Місяць.
• Один у полі не воїн.

• 0,(9)