B-сплайн
B-сплайн— сплайн-функція, що має мінімальний носій для заданого степеня, гладкості та області визначення.
Фундаментальна теорема стверджує, що довільна сплайн-функція заданого степеня, гладкості і області визначення може бути представлена як лінійна комбінація B-сплайнів того ж степеня і гладкості на тій же області визначення.
Термін B-сплайн запровадив Ісак Яков Шонберг. B-сплайни є узагальненням кривих Без'є, вони допомагають уникнути феномену Рунге при високих степенях полінома.
Визначення
B-сплайн степеня n з заданими вузлами:
та (m−n) контрольними точками
це параметрична крива, що складена з базисних B-сплайнів степеня n
Базисні B-сплайни визначаються рекурсивними формулами:
- при
При однаковій відстані між сусідніми вузлами B-сплайни називаються однорідними, в протилежному випадку — неоднорідними.
Однорідні B-сплайни
Для однорідних B-сплайнів, базисні B-сплайни однакового степеня є зміщеними екземплярами однієї функції. Нерекурсивним визначенням базисних B-сплайнів є
де
Кардинальні B-сплайни
Визначимо B0 як індикаторну функцію відрізку і Bk рекурсивно через згортку
Bk має носій
Приклади
Лінійні B-сплайни
Лінійні B-сплайни є неперервними, але не диференційовними.
Однорідні квадратичні B-сплайни
Є найбільш вживаною формою B-сплайнів.
В матричній формі:
Однорідні кубічні B-сплайни
В матричній формі: