W-функція Ламберта

Функція вивчалась ще в роботі Леонарда Ейлера 1779 року, але не мала власної назви до 1980-х років. Як самостійна функція була введена в системі комп'ютерної алгебри Maple під іменем LambertW. Ім'я Йоганна Ламберта було вибране, оскільки Ейлер посилався в своїй роботі на праці Ламберта.

Дві головні гілки функції ${\displaystyle W_{0}}$ та ${\displaystyle W_{-1}}$

Графік W₀(x) для −1/e ≤ x ≤ 4

Оскільки функція ${\displaystyle f(w)}$ не є ін'єктивною на інтервалі ${\displaystyle (-\infty ,0)}$, ${\displaystyle W(z)}$ є многозначною функцією на ${\displaystyle [-{\frac {1}{e}},0)}$. Якщо обмежитись дійсними ${\displaystyle z=x\geqslant -1/e}$ і вимагати ${\displaystyle w\geqslant -1}$, буде визначена однозначна функція ${\displaystyle W_{0}(x)}$.

Всі гілки W задовільняють диференціальні рівняння

${\displaystyle z(1+W){\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}=W,\quad z\neq -1/e.}$

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}},\quad z\not \in \{0,-1/e\}.}$

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}.}$

Ці рівняння можуть бути проінтегровані із застосуванням підстановки x = w e^w:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)\,{\rm {d}}x&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\\\end{aligned}}}$

Використовуючи ${\displaystyle W(e)=1}$, отримаємо:

${\displaystyle \int _{0}^{e}W(x)\,{\rm {d}}x=e-1.}$

Ряд Тейлора для ${\displaystyle W_{0}}$ відносно 0 можна знайти застосувавши теорему Лагранжа про обернення ряду як:

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots }$

Застосувавши ознаку д'Аламбера знаходимо радіус збіжності 1/e. Функція визначена рядом може бути аналітично розширена до голоморфної функції з точками розгалуження (−∞, −1/e].

Для великих значень x, W₀ асимптотична до

${\displaystyle {W_{0}(x)=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}(-2+L_{2})}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}(6-9L_{2}+2L_{2}^{2})}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3})}{12L_{1}^{4}}}+\cdots }}$

${\displaystyle W_{0}(x)=L_{1}-L_{2}+\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\ell }\left[{\begin{matrix}\ell +m\\\ell +1\end{matrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-\ell -m}L_{2}^{m}}$

де ${\displaystyle L_{1}=\ln(x)}$ , ${\displaystyle L_{2}=\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}$ та${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\ell +m\\\ell +1\end{matrix}}\right]}$ не від'ємні числа Стірлінга першого роду. Залишивши тільки 2 перші доданки, отримаємо:

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+o(1).}$

Інша дійсна гілка, ${\displaystyle W_{-1}}$, визначена на інтервалі [−1/e, 0), для ${\displaystyle x\geq e}$ визначені наступні обмеження:

${\displaystyle \ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\frac {\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}{2\ln(x)}}\leq W_{0}(x)\leq \ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}{\ln(x)}}}$.

...

...

• Corless et al. (1996). «On the Lambert W function». Adv. Computational Maths. 5: 329-359.