Автоковаріація

У теорії ймовірностей та статистиці для заданого стохастичного процесу автоковаріа́ція (англ. autocovariance) — це функція, яка дає коваріацію цього процесу із самим собою в парах моментів часу. Автоковаріація процесу тісно пов'язана з його автокореляцією.

Автоковаріація стохастичних процесів

Визначення

За звичайного позначення $\operatorname {E}$ для оператора математичного сподівання, якщо стохастичний процес $\left\{X_{t}\right\}$ має функцію середнього значення $\mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]$ , то автоковаріацію визначають як[1]^{:с. 162}

$\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} \left[X_{t_{1}},X_{t_{2}}\right]=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}X_{t_{2}}]-\mu _{t_{1}}\mu _{t_{2}}$

(1)

де $t_{1}$ та $t_{2}$ — два моменти часу.

Визначення для слабко стаціонарного процесу

Якщо $\left\{X_{t}\right\}$ — слабко стаціонарний процес, то має місце наступне:[1]^{:с. 163}

\mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu

для всіх

t_{1},t_{2}

і

\operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty

для всіх

t

і

\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),

де $\tau =t_{2}-t_{1}$ — запізнювання в часі (англ. time lag), або кількість часу, на яку було зміщено сигнал.

Таким чином, автоковаріаційна функція слабко стаціонарного процесу задається як[2]^{:с. 517}

$\operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{t})(X_{t-\tau }-\mu _{t-\tau })]=\operatorname {E} [X_{t}X_{t-\tau }]-\mu _{t}\mu _{t-\tau }$

(2)

що рівнозначне

\operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{t+\tau })(X_{t}-\mu _{t})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }X_{t}]-\mu ^{2}

.

Унормовування

Поширеною практикою в деяких дисциплінах (наприклад, у статистиці та аналізі часових рядів) є унормовувати автоковаріаційну функцію, щоб отримувати залежний від часу коефіцієнт кореляції Пірсона. Проте в деяких інших дисциплінах (наприклад, в інженерії) унормовування зазвичай пропускають, а терміни «автокореляція» та «автоковаріація» використовують як взаємозамінні.

Визначення нормованої автокореляції стохастичного процесу:

\rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}

.

Якщо функція $\rho _{XX}$ однозначно визначена, її значення мусять лежати в діапазоні $[-1,1]$ , причому 1 вказує на ідеальну кореляцію, а −1 — на ідеальну антикореляцію.

Для слабко стаціонарного процесу визначення таке:

\rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}

.

де

\operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}

.

Властивість симетрії

\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}

[3]^:с.169

відповідно, для слабко стаціонарного процесу:

\operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}

[3]^:с.173

Лінійні фільтри

Автоковаріацією процесу з лінійним фільтром $\left\{Y_{t}\right\}$

Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,

є

K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l).\,

Обчислення турбулентної дифузійності

Автоковаріацію можливо використовувати для обчислення турбулентної дифузійності.[4] Турбулентність у потоці може спричинювати флуктуації швидкості в просторі й часі. Таким чином, ми можемо визначати турбулентність за допомогою статистики цих флуктуацій^{[джерело?]}.

Для визначання флуктуацій швидкості $u'(x,t)$ використовують розклад Рейнольдса (припустімо, що ми зараз працюємо з одновимірною задачею, й $U(x,t)$ — швидкість уздовж напрямку $x$ ):

U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),

де $U(x,t)$ — істинна швидкість, а $\langle U(x,t)\rangle$ — математичне сподівання швидкості. Якщо ми оберемо правильне $\langle U(x,t)\rangle$ , то всі стохастичні складові турбулентної швидкості буде включено до $u'(x,t)$ . Щоби визначити $\langle U(x,t)\rangle$ , необхідний набір вимірювань швидкості, зібраних із точок у просторі, моментів часу, або повторюваних експериментів.

Якщо ми припускаємо, що турбулентний потік $\langle u'c'\rangle$ ( $c'=c-\langle c\rangle$ , а c — член концентрації) може бути викликано випадковим блуканням, то для вираження члену турбулентного потоку ми можемо використовувати закони дифузії Фіка:

J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}.

Автоковаріація швидкості визначається як

K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\rangle

або

K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle ,

де $\tau$ — часове, а $r$ — просторове відставання.

Турбулентну дифузійність $D_{T_{x}}$ можливо обчислювати за допомогою наступних 3 методів:

Якщо маємо дані про швидкість уздовж лагранжевої траєкторії:
$D_{T_{x}}=\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .$
Якщо маємо дані про швидкість в одному нерухомому (ейлеровому) положенні^{[джерело?]}:
$D_{T_{x}}\approx [0.3\pm 0.1]\left[{\frac {\langle u'u'\rangle +\langle u\rangle ^{2}}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .$
Якщо маємо інформацію про швидкість у двох нерухомих (ейлерових) положеннях^{[джерело?]}:
$D_{T_{x}}\approx [0.4\pm 0.1]\left[{\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{r}^{\infty }u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\,dr,$
де $r$ — відстань, розділена цими двома нерухомими положеннями.

Автоковаріація випадкових векторів

Див. також

Авторегресійний процес
Кореляція
Взаємна коваріація
Взаємна кореляція
Оцінювання коваріацій шумів (як приклад застосування)

Примітки

Hsu, Hwei (1997). Probability, random variables, and random processes. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-030644-8. (англ.)
Lapidoth, Amos (2009). A Foundation in Digital Communication. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19395-5. (англ.)
Kun Il Park, Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3 (англ.)
Taylor, G. I. (1 січня 1922). Diffusion by Continuous Movements. Proceedings of the London Mathematical Society (англ.). s2-20 (1): 196–212. ISSN 1460-244X. doi:10.1112/plms/s2-20.1.196. (англ.)

Література

Hoel, P. G. (1984). Mathematical Statistics (вид. Fifth). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-89045-4. (англ.)
Конспект лекції з автоковаріації ВГОІ (англ.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[HweiHsu-1] Hsu, Hwei (1997). Probability, random variables, and random processes. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-030644-8. (англ.)

[Lapidoth-2] Lapidoth, Amos (2009). A Foundation in Digital Communication. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19395-5. (англ.)

[KunIlPark-3] Kun Il Park, Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3 (англ.)

[4] Taylor, G. I. (1 січня 1922). Diffusion by Continuous Movements. Proceedings of the London Mathematical Society (англ.). s2-20 (1): 196–212. ISSN 1460-244X. doi:10.1112/plms/s2-20.1.196. (англ.)

Кореляція та коваріація
Частина з циклу Статистика

Для випадкових векторів Автокореляційна матриця Взаємна кореляційна матриця Автоковаріаційна матриця Взаємна коваріаційна матриця
Для стохастичних процесів Автокореляційна функція Взаємна кореляційна функція Автоковаріаційна функція Взаємна коваріаційна функція
Для детермінованих сигналів Автокореляційна функція Взаємна кореляційна функція Автоковаріаційна функція Взаємна коваріаційна функція