Авторегресивна умовна гетероскедастичність

Нехай потрібно змоделювати часовий ряд використовуючи АРУГ процес. Позначимо ${\displaystyle ~\epsilon _{t}~}$ похибки (залишки доходів відносно середнього процесу). Ці ${\displaystyle ~\epsilon _{t}~}$ розкладаються на стохастичний член, ${\displaystyle z_{t}}$, та стандартне відхилення, залежне від часу, ${\displaystyle \sigma _{t}}$. ${\displaystyle \sigma _{t}}$ характеризує величину ${\displaystyle ~\epsilon _{t}~}$ наступним чином

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}~}$

тут ${\displaystyle z_{t}}$ — стандартна нормальна випадкова величина (математичне сподівання = 0, дисперсія = 1), (тобто, ${\displaystyle z_{t}{\overset {\textrm {iid}}{\thicksim }}N(0,1))}$ і ряд ${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$ моделюється як

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}}$

де ${\displaystyle ~\alpha _{0}>0~}$ та ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0,~i>0}$.

Параметри АРУГ(q) моделі можуть бути оцінені методом найменших квадратів. Метод тестування кількості лагів похибок моделі УАРГ з використанням методу множників Лагранжа запропонував Роберт Енґл. Процедура тестування здійснюється виконанням кроків:

1. Оцінити найкращу підгонку АР(q) модель ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}}$.
2. Отримати квадрати похибок ${\displaystyle {\hat {\epsilon }}^{2}}$ і зрегресувати їх на константі та q лагах (запізненнях):

   ${\displaystyle {\hat {\epsilon }}_{t}^{2}={\hat {\alpha }}_{0}+\sum _{i=1}^{q}{\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\epsilon }}_{t-i}^{2}}$

   тут q кількість запізнень УАРГ процесу.

3. Нульова гіпотеза полягає в тому, що якщо ми не маємо АРУГ компонентів, тоді має виконуватися ${\displaystyle \alpha _{i}=0\ \forall \ i=1,\cdots ,q}$. Альтернативна гіпотеза про присутність УАРГ компонентів перевіряється тим, що принаймні один оцінений параметр ${\displaystyle \alpha _{i}}$ суттєво відрізняється від нуля. Для вибірки з T похибок за умови вірності нульової гіпотези (похибки не є АРУГ процесом) тестова статистика TR² має ${\displaystyle \chi ^{2}}$ розподіл з q ступенями свободи. Якщо TR² більше ніж відповдний квантиль хі-квадрат розподілу ми відкидаємо нульову гіпотезу і робимо висновок, що присутній УАРГ ефект у АРРС моделі. Якщо TR² — менше ніж квантиль хі-квадрат розподілу ми не відкидаємо нульову гіпотезу.