Антиголоморфна функція

Функція ${\displaystyle f}$, визначена на відкритій підмножині ${\displaystyle D}$ комплексної площини, називається антиголоморфною, якщо її похідна ${\displaystyle {\frac {df}{d{\bar {z}}}}}$ по ${\displaystyle {\bar {z}}}$ (де рискою позначається комплексне спряження)існує в усіх точках цієї множини. Визначення можна також записати аналогічно до умов Коші — Рімана:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial y}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial x}}}$

де

${\displaystyle f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy,\quad \{x,y,u,v\}\subset \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в ${\displaystyle D}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle f({\bar {z}})}$ антиголоморфна в ${\displaystyle {\bar {D}}=\{{\bar {z}}|z\in D\}}$.
• Функція є антиголоморфною тоді і тільки тоді, коли її можна розкласти за ступенями ${\displaystyle {\bar {z}}}$ у околі кожної точки її області визначення.
• ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в ${\displaystyle D}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle {\bar {f}}(z)}$ антиголоморфна в ${\displaystyle D}$.
• якщо функція одночасно голоморфна і антиголоморфна, то вона є константою на будь-якій зв'язаній компоненті її області визначення.

Функція ${\displaystyle \displaystyle z\mapsto {\frac {1}{\overline {z}}}}$ є антиголоморфною в ${\displaystyle \mathbb {C} \!\smallsetminus \!\{0\}}$. Легко перевірити умови голоморфності:

${\displaystyle f(z)\,=\,{\frac {z}{|z|^{2}}}\,=\,\underbrace {\frac {x}{x^{2}+y^{2}}} _{u}+i\underbrace {\frac {y}{x^{2}+y^{2}}} _{v},}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}\;=\;{\frac {y^{2}\!-\!x^{2}}{(x^{2}\!+\!y^{2})^{2}}},\quad {\frac {\partial v}{\partial y}}\;=\;{\frac {x^{2}\!-\!y^{2}}{(x^{2}\!+\!y^{2})^{2}}},\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}\;=\;-{\frac {2xy}{(x^{2}\!+\!y^{2})^{2}}},\quad {\frac {\partial v}{\partial x}}\;=\;-{\frac {2xy}{(x^{2}\!+\!y^{2})^{2}}}.}$

Зрозуміло, що антиголоморфність відразу випливає з того, що дана функція є комплексно спряженою до функції ${\displaystyle \displaystyle z\mapsto {\frac {1}{z}}}$, що є голоморфною у множині ${\displaystyle \mathbb {C} \!\smallsetminus \!\{0\}}$.

• Голоморфна функція

• Антиголоморфна функція на сайті PlanetMath. (англ.)