Умови Коші — Рімана

Для того, щоб функція w = f(z), визначена в деякій області D комплексної площини, була диференційовна в точці z₀ = x₀ + iy₀ як функція комплексної змінної z, необхідно і достатньо, щоб її дійсна і уявна частини u і v були диференційовними в точці (x₀,y₀) як функції дійсних змінних x і у і щоб, крім того, в цій точці виконувалися умови Коші — Рімана:

• Виконання умов Коші — Рімана, на відкритій підмножині ${\displaystyle \mathbb {C} }$ є необхідними умовами аналітичності функції.
• Якщо, крім того, часткові похідні неперервні, то функція є аналітичною.

Припустимо, що z = x + iy. Комплекснозначна функція f(z) = z² диференційовна в кожній точці z комплексної площини.

${\displaystyle f(z)=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy}$

Дійсна частина u(x, y) і уявна частина v(x, y) of f(z):

${\displaystyle u(x,y)=x^{2}-y^{2}}$

${\displaystyle v(x,y)=2xy}$

відповідно. Їхні частинні похідні

${\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial x}}=2x}$

${\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-2y}$

${\displaystyle {\dfrac {\partial v}{\partial x}}=2y}$

${\displaystyle {\dfrac {\partial v}{\partial y}}=2x}$.

Ці частинні похідні співвідносяться таким чином:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$.

Отже комплекснозначна функція f(z) задовольняє умові Коші — Рімана.

Ці умови вперше з'явилися в роботі д'Аламбера (1752 р.). У роботі Ейлера у 1777 р., умови одержали вперше характер загальної ознаки аналітичної функцій. Коші користувався цими співвідношеннями для побудови теорії функцій, починаючи з мемуару, представленого Паризькій академії наук в 1814 р. Знаменита дисертація Рімана про основи теорії функцій відноситься до 1851 р.

• Голоморфна функція
• Теорема Лумана — Меньшова