Визначникова тотожність Сильвестра

У теорії матриць, визначникова тотожність Сильвестра — це тотожність корисна для обчислення певних типів визначників. Її назвали на честь Джеймса Джозефа Сильвестра, який навів цю тотожність без доведення у 1851.[1]

Тотожність стверджує, що якщо A і B є матрицями розмірів m × n і n × m відповідно, тоді

де Ia одинична матриця порядку a.[2][3]

Це визначниковий аналог матричної тотожності Вудбурі.

Доведення

Тотожність можна довести таким чином.[4] Нехай M буде матрицею, що складається з чотирьох блоків Im, A, B і In:

.

Оскільки Im є оборотною, формула визначника блокової матриці дає

.

Оскільки In є оборотною, формула визначника блокової матриці дає

.

Отже,

.

Примітки

  1. Sylvester, James Joseph (1851). On the relation between the minor determinants of linearly equivalent quadratic functions. Philosophical Magazine 1: 295–305.
    Процитовано в Akritas, A. G.; Akritas, E. K.; Malaschonok, G. I. (1996). Various proofs of Sylvester's (determinant) identity. Mathematics and Computers in Simulation 42 (4–6): 585. doi:10.1016/S0378-4754(96)00035-3.
  2. Harville, David A. (2008). Matrix algebra from a statistician's perspective. Berlin: Springer. ISBN 0-387-78356-3. page 416
  3. Weisstein, Eric W. Sylvester's Determinant Identity. MathWorld--A Wolfram Web Resource. Процитовано 3 березня 2012.
  4. Pozrikidis, C. (2014). An Introduction to Grids, Graphs, and Networks. Oxford University Press. с. 271. ISBN 9780199996735.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.