Визначникова тотожність Сильвестра

Тотожність можна довести таким чином.[4] Нехай M буде матрицею, що складається з чотирьох блоків I_m, −A, B і I_n:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}}$.

Оскільки I_m є оборотною, формула визначника блокової матриці дає

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{m})\det(I_{n}-BI_{m}^{-1}(-A))=\det(I_{n}+BA)}$.

Оскільки I_n є оборотною, формула визначника блокової матриці дає

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{n})\det(I_{m}-(-A)I_{n}^{-1}B)=\det(I_{m}+AB)}$.

Отже,

${\displaystyle \det(I_{n}+BA)=\det(I_{m}+AB)}$.