Вібрація струни

Ілюстрація струни, що вібрує

Нехай ${\displaystyle \Delta x}$ є довжиною відрізка струни, ${\displaystyle m}$ задає її масу, а ${\displaystyle \rho }$ задає її лінійну густину. Якщо горизонтальна складова натягу струни ${\displaystyle T}$ є сталою, тоді сила, що діє на кожний бік відрізка струни визначається як

${\displaystyle T_{1x}=T_{1}\cos(\alpha )\approx T.}$

${\displaystyle T_{2x}=T_{2}\cos(\beta )\approx T.}$

Якщо обидва кути є малими, тоді сила на кожному кінці є однаковою, результуюча горизонтальна сила дорівнює нулю. Із другого закону Ньютона для вертикальної складової, маса цього відрізка, помножена на її прискорення ${\displaystyle a}$, дорівнюватиме загальній силі, що діє на відрізок струни:

${\displaystyle \Sigma F_{y}=T_{1y}-T_{2y}=-T_{2}\sin(\beta )+T_{1}\sin(\alpha )=\Delta ma\approx \rho \Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

Поділивши цей вираз на ${\displaystyle T}$ і підставивши перше та друге рівняння отримаємо

${\displaystyle {\frac {\rho \Delta x}{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=-{\frac {T_{2}\sin(\beta )}{T_{2}\cos(\beta )}}+{\frac {T_{1}\sin(\alpha )}{T_{1}\cos(\alpha )}}=-\tan(\beta )+\tan(\alpha )}$

Тангенси кутів на кінцях струни дорівнюють куту нахилу на кінцях, із знаком мінус, відповідно до визначення кутів альфа і бета. Використавши цей факт і застосувавши перевпорядкування отримаємо

${\displaystyle {\frac {1}{\Delta x}}\left(\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x+\Delta x}-\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x}\right)={\frac {\rho }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}}$

У границі, де ${\displaystyle \Delta x}$ наближається до нуля, ліва частина відповідає визначенню другої похідної для ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\rho }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

Це рівняння хвилі для ${\displaystyle y(x,t)}$, а коефіцієнт другої похідної від часу дорівнює ${\displaystyle v^{-2}}$; тому

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \rho }},}$

де ${\displaystyle v}$ це середня скалярна швидкість поширення хвилі по струні (див. статтю про хвильове рівняння). Однак, це доведення є правильним лише для вібрацій із малою амплітудою; для вібрацій із великою амплітудою, ${\displaystyle \Delta x}$ не є добрим наближенням для довжини відрізку струни, горизонтальний натяг струни не обов'язково є постійним , тоді горизонтальний натяг не буде правильно задаватися як ${\displaystyle T}$. [1]