Геометрія Галуа

Геометрія Галуа (названа іменем французького математика 19-го століття Евариста Галуа) — це розділ скінченної геометрії, що розглядає алгебричну та аналітичну геометрії над скінченними полями (або полями Галуа)[1]. У більш вузькому розумінні геометрію Галуа можна визначити як проективний простір над скінченним полем[2].

Площина Фано, Проективна площина над полем із двох елементів, один із найпростіших об'єктів геометрії Галуа.

Вступ

Об'єктами вивчення слугують векторні простори, афінні та проективні простори над скінченними полями й різноманітні структури, що містяться в них. Зокрема, дуги, овали, гіперовали, унітали, блокувальні множини, овали й інші кінцеві аналоги структур, наявних у нескінченних геометріях.

Джордж Конуелл продемонстрував геометрію Галуа в 1910 році, коли описував рішення задачі Кіркмана про школярок як розбиття множини мимобіжних прямих в PG(3,2), тривимірної проективної геометрії над полем Галуа GF(2)[3]. Подібно до методів геометрії прямих у просторі над полем із характеристикою 0, Конуелл використовував плюккерові координати в PG(5,2) і ототожнив точки, що представляють прямі в PG(3,2) з точками, які лежать на квадриці Кляйна.

У 1955 Беньяміно Серж описав овали для непарних q. Теорема Сержа стверджує, що в геометрії Галуа непарного порядку (проективна площина, визначена над скінченним полем з непарною характеристикою) будь-який овал є конічним перетином. На Міжнародному конгресі математиків 1958 року Серж представив огляд наявних на той час результатів у геометрії Галуа[4].

Див. також

Примітки
  1. «Проективні простори над кінцевими полями, відомі також як геометрії Галуа, …», (Hirschfeld, Thas, 1992)
  2. Conwell, 1910, с. 60–76.
  3. Segre, 1958.

Література
  • Beniamino Segre. On Galois Geometries. — International Mathematical Union, 1958.
  • George M. Conwell. The 3-space PG(3,2) and its Groups. — Annals of Mathematics. — 1910. — Т. 11. — С. 60–76. — DOI:10.2307/1967582.
  • J. W. P. Hirschfeld. Projective Geometries Over Finite Fields. — Oxford University Press, 1979. — ISBN 978-0-19-850295-1.
  • J. W. P. Hirschfeld. Finite Projective Spaces of Three Dimensions. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 0-19-853536-8.
  • J. W. P. Hirschfeld, J. A. Thas. General Galois Geometries. — Oxford University Press, 1992. — ISBN 978-0-19-853537-9.
  • Jan De Beule, Leo Storme. Current Research Topics in Galois Geometry. — Nova Science Publishers, 2011. — ISBN 978-1-61209-523-3.

Посилання
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.