Характеристика (алгебра)

В математиці, характеристикою кільця $R$ , позначається $\operatorname {char} R$ , називається найменше ціле додатне $n$ , для якого виконується:

\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ доданків}}}=0

Тобто сума $n$ мультиплікативних нейтральних елементів кільця дорівнює адитивному нейтральному елементу кільця.

Якщо таке $n$ не існує, тоді $R$ називається кільцем характеристики $0$ .

Приклади

Характеристики кільця цілих чисел $\mathbb {Z}$ , поля раціональних чисел $\mathbb {Q}$ , поля дійсних чисел $\mathbb {R}$ , поля комплексних чисел $\mathbb {C}$ рівні нулю.
Характеристика кільця лишків $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ рівна $n$ .
Характеристика скінченного поля $\mathbb {F} _{p^{m}}$ , де $p$ — просте число, $m$ — додатне ціле число, рівна $p$ .

Якщо кільце $R\neq \{0\}$ з одиницею і без дільників нуля має додатну характеристику $n$ , то $n$ — просте число. Отже, характеристика будь-якого поля $K$ є або $0$ , або просте число $p$ . У першому випадку поле $K$ містить як підполе поле ізоморфне полю раціональних чисел $\mathbb {Q}$ , у другому випадку поле $K$ містить як підполе поле ізоморфне $\mathbb {F} _{p}$ . У обох випадках це підполе називається простим полем (що міститься в $K$ ).
Характеристикою скінченного поля є просте число. Натомість з того, що характеристика поля є ненульовою, не випливає, що поле є скінченним. Прикладами таких полів є поле раціональних функцій над $\mathbb {F} _{p}$ і замикання, алгебри поля $\mathbb {F} _{p}$ .
Якщо $R$ — комутативне кільце простої характеристики $p$ , то $(a+b)^{p^{n}}=a^{p^{n}}+b^{p^{n}}$ для всіх $a,b\in R$ , $n\in \mathbb {N}$ .

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.