Характеристика (алгебра)
В математиці, характеристикою кільця , позначається , називається найменше ціле додатне , для якого виконується:
Тобто сума мультиплікативних нейтральних елементів кільця дорівнює адитивному нейтральному елементу кільця.
Якщо таке не існує, тоді називається кільцем характеристики .
Приклади
- Характеристики кільця цілих чисел , поля раціональних чисел , поля дійсних чисел , поля комплексних чисел рівні нулю.
- Характеристика кільця лишків рівна .
- Характеристика скінченного поля , де — просте число, — додатне ціле число, рівна .
Властивості
- Якщо кільце з одиницею і без дільників нуля має додатну характеристику , то — просте число. Отже, характеристика будь-якого поля є або , або просте число . У першому випадку поле містить як підполе поле ізоморфне полю раціональних чисел , у другому випадку поле містить як підполе поле ізоморфне . У обох випадках це підполе називається простим полем (що міститься в ).
- Характеристикою скінченного поля є просте число. Натомість з того, що характеристика поля є ненульовою, не випливає, що поле є скінченним. Прикладами таких полів є поле раціональних функцій над і замикання, алгебри поля .
- Якщо — комутативне кільце простої характеристики , то для всіх , .
Див. також
Література
- Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
- Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
- Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.