Групова алгебра

Термін групова алгебра застосується до кількох щільно пов'язаних кілець, що можуть бути утворені з довільної групи . За допомогою поняття групової алгебри вдається звести чимало питань стосовно груп та, напередусім, їх зображень, до відповідних питань про кільця.

Групова алгебра скінченої групи

Припустимо, що — це скінчена група. Її групова алгебра — це асоціативне кільце, що складається з формальних виразів

які додаються покомпонентно і для добутку яких виконується співвідношення

де у лівій частині розглядається добуток елементів , а в правій частині — добуток та у Одиниця групової алгебри — це елемент що походить з нейтрального елемента групи Аксіоми кільця в випливають із означення, асоціативності множення та властивостей одиниці в групі Кільце комутативне тоді і тільки тоді, коли — комутативна група. Загальнішим чином, групова алгебра для довільного кільця складається з лінійних комбінацій елементів з коефіцієнтами з

Категорна характеризація

Групова алгебра може бути цілком охарактеризована своєю універсальною властивістю. А саме, для будь-якого кільця і гомоморфізма групи у мультиплікативну групу , існує єдиний гомоморфізм що продовжує тобто задовольняє

для будь-якого елемента який у лівий частині останньої тотожності розглядається як елемент . Це — надзвичайно корисна властивість групової алгебри, тому що завдяки їй, будь-яке зображення групи еквівалентне до модуля над груповою алгеброю Зокрема, методи теорії кілець можуть бути застосовані до винаходження степенів і характерів незвідних і нерозкладних зображень .

Впровадження групової алгебри також дозволяє дослідити залежність категорії зображень групи над кільцем від Якщо, наприклад, маємо до мети зосередитися на дійсних зображеннях , то потрібно розширите кільце коефіцієнтів до а якщо бажаємо вивчати зображення над скінченим полем із елементів, то обираємо за кільце коефіцієнтів (замість ).

Групова алгебра локально-компактної топологічної групи

Означення групової алгебри можна поширити на випадок довільної (взагалі, нескінченої) групи якщо у наведеному вище означенні обмежитися скінченими лінійними комбінаціями елементів (тобто, за винятком скінченої підмножини ). Але більш змістовним є означення групової алгебри, що бере до уваги топологію групи і таке, що спроваджується універсальна властивість щодо неперервних гомоморфізмів у певний клас топологічних кілець (порів. вище). Зокрема, кільце цілих чисел поширюється до поля комплексних чисел. У випадку локально компактної топологічної групи, групова алгебра утворюється за кілька стадій. Спочатку розглядається банахова алгебра інтегрованих за Лебегом функцій на . Додавання функцій поточкове, як і раніше, а от добуток визначається як згортка функцій:

де — це ліва міра Хаара на Таким чином отримуємо топологічну *-алгебру, з інволюцією

де — це модулярна функція міри Хаара. А далі ця алгебра поповнюється до C*-алгебри

Література

  • Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М, Наука, 1978.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.