Групова алгебра

Припустимо, що ${\displaystyle G}$ — це скінчена група. Її групова алгебра ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ — це асоціативне кільце, що складається з формальних виразів

${\displaystyle \sum _{g\in G}a_{g}g,\quad a_{g}\in \mathbb {Z} ,}$

які додаються покомпонентно і для добутку яких виконується співвідношення

${\displaystyle g\cdot h=gh,}$

де у лівій частині розглядається добуток елементів ${\displaystyle g=1\cdot g,h=1\cdot h\in \mathbb {Z} [G]}$, а в правій частині — добуток ${\displaystyle g}$ та ${\displaystyle h}$ у ${\displaystyle G.}$ Одиниця групової алгебри — це елемент ${\displaystyle e=1\cdot e,}$ що походить з нейтрального елемента групи ${\displaystyle G.}$ Аксіоми кільця в ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ випливають із означення, асоціативності множення та властивостей одиниці в групі ${\displaystyle G.}$ Кільце ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ — комутативне тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle G}$ — комутативна група. Загальнішим чином, групова алгебра ${\displaystyle \mathbb {K} [G]}$ для довільного кільця ${\displaystyle \mathbb {K} }$ складається з лінійних комбінацій елементів ${\displaystyle G}$ з коефіцієнтами з ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Категорна характеризація

Групова алгебра може бути цілком охарактеризована своєю універсальною властивістю. А саме, для будь-якого кільця ${\displaystyle R}$ і гомоморфізма ${\displaystyle \phi }$ групи ${\displaystyle G}$ у мультиплікативну групу ${\displaystyle R}$, існує єдиний гомоморфізм ${\displaystyle {\tilde {\phi }}:\mathbb {Z} [G]\to R,}$ що продовжує ${\displaystyle \phi ,}$тобто задовольняє

${\displaystyle {\tilde {\phi }}(g)=\phi (g)}$

для будь-якого елемента ${\displaystyle g\in G,}$ який у лівий частині останньої тотожності розглядається як елемент ${\displaystyle 1\cdot g\in \mathbb {Z} [G]}$. Це — надзвичайно корисна властивість групової алгебри, тому що завдяки їй, будь-яке зображення групи ${\displaystyle G}$ еквівалентне до модуля над груповою алгеброю ${\displaystyle \mathbb {Z} [G].}$ Зокрема, методи теорії кілець можуть бути застосовані до винаходження степенів і характерів незвідних і нерозкладних зображень ${\displaystyle G}$.

Впровадження групової алгебри також дозволяє дослідити залежність категорії зображень групи ${\displaystyle G}$ над кільцем ${\displaystyle \mathbb {K} }$ від ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ Якщо, наприклад, маємо до мети зосередитися на дійсних зображеннях ${\displaystyle G}$, то потрібно розширите кільце коефіцієнтів до ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ а якщо бажаємо вивчати зображення над скінченим полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ із ${\displaystyle p}$ елементів, то обираємо за кільце коефіцієнтів ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ (замість ${\displaystyle \mathbb {Z} }$).

Означення групової алгебри можна поширити на випадок довільної (взагалі, нескінченої) групи ${\displaystyle G,}$ якщо у наведеному вище означенні обмежитися скінченими лінійними комбінаціями елементів ${\displaystyle G}$ (тобто, ${\displaystyle a_{g}=0}$ за винятком скінченої підмножини ${\displaystyle g\in G}$). Але більш змістовним є означення групової алгебри, що бере до уваги топологію групи ${\displaystyle G,}$ і таке, що спроваджується універсальна властивість щодо неперервних гомоморфізмів ${\displaystyle G}$ у певний клас топологічних кілець ${\displaystyle R}$ (порів. вище). Зокрема, кільце ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ цілих чисел поширюється до поля ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексних чисел. У випадку локально компактної топологічної групи, групова алгебра утворюється за кілька стадій. Спочатку розглядається банахова алгебра ${\displaystyle L^{1}(G,dg)}$ інтегрованих за Лебегом функцій на ${\displaystyle G}$. Додавання функцій поточкове, як і раніше, а от добуток визначається як згортка функцій:

${\displaystyle (f_{1}*f_{2})(g)=\int _{G}f_{1}(h)f_{2}(h^{-1}g)dh,}$

де ${\displaystyle dg}$ — це ліва міра Хаара на ${\displaystyle G.}$ Таким чином отримуємо топологічну *-алгебру, з інволюцією

${\displaystyle f^{*}(g)=\Delta _{G}(g){\overline {f(g^{-1})}},}$

де ${\displaystyle \Delta _{G}(g)}$ — це модулярна функція міри Хаара. А далі ця алгебра поповнюється до C*-алгебри ${\displaystyle C^{*}(G)=C^{*}(L^{1}(G,dg)).}$

• Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М, Наука, 1978.