Нейтральний елемент

Нейтра́льний елеме́нт бінарної операції — елемент, який приймаючи участь в бінарній операції, залишає незмінним інший елемент.

Якщо ${\displaystyle (S,*)}$ — множина ${\displaystyle S}$ з визначеною на ній бінарною операцією «*». Елемент ${\displaystyle e\in S}$ називається нейтральним відносно цієї операції, якщо

${\displaystyle x*e=e*x=x,\quad \forall x\in S}$.

Для некомутативних операцій, визначають

• лівий нейтральний елемент ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }}$, для якого

${\displaystyle e_{\mathrm {l} }*x=x,\quad \forall x\in S}$,

• правий нейтральний елемент ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }}$, для якого

${\displaystyle x*e_{\mathrm {r} }=x,\quad \forall x\in S}$.

В загальному випадку може існувати довільна кількість елементів, нейтральних зліва чи справа. Якщо одночасно існують лівий та правий нейтральні елементи, то вони співпадають, оскільки:

${\displaystyle e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }\cdot e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }}$.