Універсальна властивість

У багатьох областях математики корисну конструкцію часто можна розглядати як «найбільш ефективний розв'язок» певної проблеми. Означення універсальної властивості використовує мову теорії категорій, щоб зробити це твердження точним і вивчати його теоретичними методами.

Універсальні властивості багатьох топологічних конструкцій були описані П'єром Самюелем у 1948 році. Пізніше вони активно використовувалися Бурбакі. Тісно пов'язана концепція спряжених функторів була незалежно запропонована Даніелем Каном у 1958 році. Концепція універсальної властивості широко використовується у багатьох областях математики. Розуміння конкретних прикладів є важливим для розуміння абстрактного поняття універсальної властивості. Серед найважливіших прикладів зокрема є: прямий добуток і кодобуток, вільна група, група Гротендіка , компактифікація Стоуна — Чеха, тензорний добуток, пряма границя і обернена границя, ядро і коядро, розшарований добуток і розшарований кодобуток, вирівнювач і ковирівнювач.

Мотивація

Перш ніж давати формальне означення, запропонуємо деяку мотивацію для вивчення подібних конструкцій.

Конкретний опис деякої конструкції може бути довгим і складним але якщо конструкція задовольняє універсальну властивість, часто можна забути про деталі її опису; все, що потрібно для виведення основних її властивостей, вже міститься в універсальній властивості. Доведення при цьому часто стають коротшими і більш елегантними, якщо в них використовується універсальна властивість, а не конкретні деталі побудови. Наприклад, тензорну алгебру векторного простору будується в кілька кроків, тоді як з її універсальну властивість використовувати набагато простіше.
Універсальної властивості достатньо, щоб визначити об'єкт з точністю до ізоморфізму. Таким чином, з'являється ще один спосіб довести, що два об'єкти ізоморфні, а саме довести, що вони задовольняють однакову універсальну властивість.
Універсальні властивості поширені в багатьох областях математики. Вивчивши їх абстрактні властивості, можна отримати інформацію про всі подібні конструкції і уникнути повторення одного і того ж аналізу в кожному конкретному випадку.

Формальне означення

Нехай U: D → C — функтор з категорії D в категорію C, а X — об'єкт категорії C. Розглянемо наступні подвійні визначення:

Універсальним морфізмом (або у даному випадку початковим морфізмом чи початковою стрілкою) з X у U називається пара (A, φ), де A — об'єкт категорії D і φ: X → U(A) — морфізм у категорії C, такий що виконується початкова властивість:

Для будь-якого Y — об'єкта категорії D і f: X → U(Y) — морфізма в категорії C , існує єдиний морфізм g: A → Y такий, що діаграма нижче є комутативною:

An initial морфізм from X to U

Універсальним морфізмом (або у даному випадку термінальним морфізмом або термінальною стрілкою) з U у X називається пара (A, φ), де A — об'єкт категорії D і φ: U(A) → X — морфізм в категорії C, такий що виконується термінальна властивість:

Для будь-якого Y — об'єкта категорії D і f: U(Y) → X — морфізма категорії C, існує єдиний морфізм g: Y → A, такий що діаграма нижче є комутативною:

A terminal морфізм from U to X

Означення за допомогою кома категорій

Означення універсальних морфізмів можна дати за допомогою ініціальних і термінальних об'єктів кома категорій.

Нехай $F:C\to D$ є функтором і $X$ — об'єктом категорії $D$ . За означенням кома категорія $(X\downarrow F)$ є категорією у якій

Об'єктами є пари виду $(B,f:X\to F(B))$ , де $B$ є об'єктом категорії $C$
Морфізм із $(B,f:X\to F(B))$ у $(B',f':X\to F(B'))$ задається морфізмом $h:B\to B'$ у $C$ для якого діаграма нижче комутує:

A морфізм in the comma category is given by the морфізм

h:B\to B'

which also makes the diagram commute.

Припустимо, що $(A,u:X\to F(A))$ є ініціальним об'єктом у $(X\downarrow F)$ . Тоді для кожного об'єкта $(A',f:X\to F(A'))$ існує єдиний морфізм $h:A\to A'$ для якого діаграма нижче комутує.

This demonstrates the connection between a universal diagram being an initial object in a comma category.

Діаграма з правої сторони є такою ж, як і діаграма в означенні універсального морфізма з $X$ у $F$ . Тому універсальний морфізм із $X$ у $F$ є еквівалентним ініціальному об'єкту кома категорії $X\downarrow F$ .

Натомість кома категорією $(F\downarrow X)$ є категорія в якій

Об'єктами є пари виду $(B,f:F(B)\to X)$ де $B$ є об'єктом категорії $C$
Морфізм із $(B,f:F(B)\to X)$ у $(B',f':F(B')\to X)$ задається морфізмом $h:B\to B'$ у $C$ для якого діаграма нижче комутує:

This simply demonstrates the definition of a морфізм in a comma category.

Нехай $(A,u:F(A)\to X)$ є термінальним об'єктом у $(F\downarrow X)$ . Тоді для кожного об'єкта $(A',f:F(A')\to X)$ існує єдиний морфізм $h:A'\to A$ для якого діаграма нижче комутує.

This shows that a terminal object in a specific comma category corresponds to a universal морфізм.

Діаграма з правої сторони є такою ж, як і діаграма в означенні універсального морфізма з $F$ у $X$ . Тому універсальний морфізм із $F$ у $X$ є еквівалентним термінальному об'єкту кома категорії $F\downarrow X$ .

Приклади

Тензорні алгебри

Нехай C — категорія векторних просторів над полем K і D — категорія асоціативних алгебр над K. Розглянемо забуваючий функтор

U : K-Alg → K-Vect

що зіставляє кожній алгебрі відповідний векторний простір.

Для довільного об'єкта X з K-Vect — векторному простору V — можна отримати його тензорну алгебру T(V). А саме, вона характеризується наступними універсальним властивістю:

«Будь-яке лінійне відображення з V у K-алгебру A може бути єдиним чином продовжено до гомоморфізму алгебр T(V) → A.»

Це твердження описує універсальну властивість тензорної алгебри, тобто той факт, що пара (T(V), i), де i : V → T(V) — стандартне вкладення, є початковою стрілкою з векторного простору V у функтор U. Ми отримали функтор T з K-Vect у K-Alg Це означає, що T є лівим спряженим функтором забуваючого функтора U (див. розділ «зв'язок із спряженими функторами»).

Добутки

Добуток у теорії категорій можна охарактеризувати його універсальним властивістю. А саме: нехай X і Y — об'єкти категорії D, а C — добуток категорій D × D. Визначимо діагональний функтор

Δ : D → D × D

як Δ(X) = (X, X) і Δ(f : X → Y) = (f, f). Тоді якщо (A, φ) - термінальна стрілка з Δ у (X, Y) — об'єкт категорії D × D, то A — об'єкт категорії D, який називається прямим добутком X × Y, а φ — пара проекцій

π₁ : X × Y → X

π₂ : X × Y → Y.

Властивості

Існування і єдиність

Для певної універсальної властивості може не існувати об'єкта, який їй задовольняє. Проте якщо такий (A, φ) існує, то він є єдиним із точністю до єдиного ізоморфізму. Перевіримо це для випадку початкової стрілки: якщо (A′, φ′) — інша така пара, то існує єдиний ізоморфізм k: A → A′ такий що φ′ = U(k)φ. Це легко побачити, замінивши (Y, f) з означення початкової властивості на (A′, φ′).

Еквівалентні формулювання

Означення універсальної властивості можна дати багатьма еквівалентними способами. Нехай U — функтор з D у C, X — об'єкт категорії С. Тоді такі формулювання є еквівалентними:

(A, φ) — початкова стрілка з X в U
(A, φ) — початковий об'єкт категорії коми ( X v U)
(A, φ) зображує функтор Hom_C(X, U—),

Подібно можна дати двоїсті формулювання.

Зв'язок зі спряженими функторами

Нехай (A₁, φ₁) — початкова стрілка із X₁ у U і (A₂, φ₂) — початкова стрілка з X₂ в U. За початковою властивістю будь-якому морфізму h: X₁ → X₂ відповідає єдиний морфізм g: A₁ → A₂, такий що діаграма нижче є комутативною:

Якщо кожен об'єкт X_i категорії C допускає початкову стрілку в U, то відповідності $X_{i}\mapsto A_{i}$ і $h\mapsto g$ визначають функтор V з C у D. А відображення φ_i тоді визначають натуральне перетворення з 1_C (тотожний функтор C) у UV . Функтори (V, U) утворюють пару спряжених функторів. Аналогічні твердження є справедливими в двоїстій ситуації термінальних морфізмів з U, у цьому випадку (U, V) будуть парою спряжених функторів.

Насправді всі пари спряжених функторів одержуються із конструкцій такого виду. Нехай F: С → D і G: D → C — пара спряжених функторів з одиницею η і коодиницею ε (див. Статтю спряжені функтори). Тоді існують універсальні морфізми для кожного об'єкта категорій C і D:

Для кожного об'єкта X з C, (F(X), η_X) — початкова стрілка з X у G. Тобто для всіх f: X → G(Y) існує єдиний g: F(X) → Y, для якого такі діаграми комутують.
Для кожного об'єкта Y ізD , (G(Y), ε_Y) — термінальна стрілка з F у Y. Тобто для всіх g: F(X) → Y існує єдиний f: X → G(Y), для якого такі діаграми комутують.

Universal properties of a pair of adjoint functors

Універсальні конструкції є більш загальними, ніж конструкції спряжених функторів: універсальна конструкція схожа на задачу оптимізації, а пара спряжених функторів визначена, тільки якщо ця задача має розв'язок для всіх об'єктів категорії.

Див. також

Спряжені функтори

Література

Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Volume 1. Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1.
Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 143. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04424-1.
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (вид. 2nd). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.