Гомоморфізм груп

Гомоморфі́зм груп — відображення ${\displaystyle \phi }$ групи ${\displaystyle (G,*)}$ в групу ${\displaystyle (H,\cdot )}$, що зберігає групову операцію, тобто:

${\displaystyle \phi \colon G\rightarrow H:\quad \phi (x*y)=\phi (x)\cdot \phi (y)\quad \forall {\mathit {x,y}}\in G}$.

Гомоморфізм зберігає всі відношення, основані на заданій операції, тобто, одиниця групи ${\displaystyle (G,*)}$ переходить в одиницю групи ${\displaystyle (H,\cdot )}$; обернені елементи переходять в обернені[1].

Тоді:

Ядро гомоморфізму — підмножина всіх елементів ${\displaystyle (G,*)}$, що відображаються в одиницю групи ${\displaystyle (H,\cdot )}$:

${\displaystyle ker\,\phi =\{x\in G\colon \phi (x)=e_{H}\}}$.

Образ гомоморфізму — підмножина всіх елементів ${\displaystyle H}$, що є образами елементів ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle im\,\phi =\phi (G)}$.