Міра Хаара

Нехай G локально-компактна топологічна група. Якщо a елемент групи G і S — підмножина G, тоді можна визначити ліві і праві перенесення:

• Ліве перенесення:

${\displaystyle aS=\{a\cdot s:s\in S\}.}$

• Праве перенесення:

${\displaystyle Sa=\{s\cdot a:s\in S\}.}$

Ліві і праві перенесення множин Бореля є множинами Бореля.

Міра μ на борелівських підмножинах G називається інваріантною щодо лівих перенесень якщо і тільки якщо для всіх борелівських підмножин S групи G і всіх ${\displaystyle a\in G}$ виконується:

${\displaystyle \mu (aS)=\mu (S).\quad }$

Подібним чином визначається інваріантність щодо правих перенесень. Борелівська міра ${\displaystyle \mu (E)}$ називається регулярною, якщо виконуються умови:

• μ(K) є скінченною для довільної компактної множини K.
• Довільна борелівська множина E задовольняє умову зовнішньої регулярності:

${\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,\}}$ де U — відкрита множина.

• Довільна відкрита множина E задовольняє умову зовнішньої регулярності:

${\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,\}}$ де K — компактна множина.

Для довільної локально-компактної топологічної групи існує єдина з точністю до множення на константу регулярна борелівська міра, що є інваріантною щодо лівих перенесень, і ненульовою . Дана множина називається лівою мірою Хаара. Також існує єдина з точністю до множення на константу регулярна борелівська міра, що є інваріантною щодо правих перенесень, ненульовою. Дана множина називається правою мірою Хаара.

Нехай G локально-компактна топологічна група і ${\displaystyle \mu ,\nu }$ — ліва і права міри Хаара на ній.

Якщо ${\displaystyle S\subset G}$ — борелівська множина, і ${\displaystyle S^{-1}}$ — множина обернених елементів до елементів S то

${\displaystyle \mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})\quad }$ де ${\displaystyle \mu }$ — ліва міра Хаара, є правою мірою Хаара. Дійсно:

${\displaystyle \mu _{-1}(Sa)=\mu ((Sa)^{-1})=\mu (a^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S).\quad }$

Оскільки права міра Хаара є єдиною з точністю до множення на константу, то виконується:

${\displaystyle \mu (S^{-1})=k\nu (S)\,}$

для всіх борелівських множин S, де k — деяке додатне дійсне число.

За допомогою міри Хаара можна визначити інтеграл, для всіх вимірних функцій f з аргументами з G. Цей інтеграл називається інтегралом Хаара. Якщо μ — ліва міра Хаара, тоді:

${\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x)}$

• Локально компактна група

• Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применения. — М.: ИЛ, 1950.
• Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968.
• Donald L. Cohn, Measure theory, Birkhäuser, 1997. ISBN 3-7643-3003-1.