Оператор Лапласа

Опера́тор Лапла́са — дія над скалярним або векторним полем, що визначається, як сума других часткових похідних по кожній декартовій координаті. Позначається $\ \Delta$ або $\nabla ^{2}$ .

Для тривимірного простору

\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}

Оператор Лапласа часто використовується в математичній і теоретичній фізиці.

Справедливе співвідношення:

\Delta =\nabla ^{2}={\text{div}}\;\nabla

.

Названий на честь французького математика Лапласа.

Оператор Лапласа в криволінійних системах координат

Циліндрична система координат

\Delta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\rho {\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}

.

Сферична система координат

\Delta ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}

Застосування

За допомогою даного оператора зручно записувати рівняння Лапласа, Пуассона і хвильове рівняння. У фізиці оператор Лапласа застосовується в електростатиці і електродинаміці, в багатьох рівняннях фізики суцільних середовищ, а також при вивченні рівноваги мембран, плівок або поверхонь розділу фаз з поверхневим натягом (див. Лапласовий тиск), у стаціонарних задач дифузії та теплопровідності, які зводяться неперервним граничним переходом до звичайних рівнянь Лапласа або Пуассона чи до деяких їх узагальнень.

Див. також

Джерела

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1966. — Т. 3. — 656 с.(рос.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.