Дигамма-функція

Дигамма-функція пов'язана з гармонійними числами співвідношенням

${\displaystyle \displaystyle {\psi (n)=H_{n-1}-\gamma }}$,

де ${\displaystyle {\textstyle {H_{n}}}}$ -n-е гармонійне число, а ${\displaystyle {\textstyle {\gamma }}}$ - постійна Ейлера — Маскероні.

Покажемо звідки береться такий зв'язок. Гамма функція задовольняє рівняння

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z).\,}$

Візьмемо похідну по z:

${\displaystyle \Gamma '(z+1)=z\Gamma '(z)+\Gamma (z)\,}$

Поділимо на Γ(z + 1) або ж еквівалентно на zΓ(z):

${\displaystyle {\frac {\Gamma '(z+1)}{\Gamma (z+1)}}={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}+{\frac {1}{z}}}$

або:

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}}$

Оскільки гармонічні числа визначені для додатніх цілих числах n за формулою

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

отже, дигамма функція пов'язана з ними формулою

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,}$

де H₀ = 0, і γ — стала Ейлера — Маскероні. Для напів цілих чисел дигамма функція набуває вигляду

${\displaystyle \psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}.}$

• Формула доповнення

  ${\displaystyle \displaystyle {\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot(\pi x)}}$

• Рекурентні співвідношення

  ${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}}$

• Розкладання на нескінченну суму

  ${\displaystyle \psi (x)=\ln(x)-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{x^{2n}}}}$

де ${\displaystyle \zeta (x)}$ - Дзета-функція Рімана.

• Логарифмічний розклад

  ${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\ln(x+k)}$

• Теорема Гауса

  ${\displaystyle {\frac {\Gamma '(p/q)}{\Gamma (p/q)}}=-\gamma -\ln(2q)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {\pi p}{q}}\right)+2\sum _{0<n<q/2}\cos \left({\frac {2\pi pn}{q}}\right)\ln \left(\sin \left({\frac {\pi n}{q}}\right)\right)}$

При цілих ${\displaystyle p,q}$ з умовою ${\displaystyle 0<p<q}$.

Є багато скінченних сум, де використовується дигамма функція. Основні з таких формул для сумування

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-m(\gamma +\ln m),}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}}=m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} ,\ k\neq m.}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(2k-m),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

виведені Ґауссом.[1][2] А більш складніші формули, як такі

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1)k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2r+1)k\pi }{m}}=-{\frac {\pi m}{2}},\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=-{\frac {\pi (m-1)(m-2)}{6}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{\frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2}+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m+2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}}$

виведені багатьма сучасними математиками (див. наприклад Додаток B в статті Блаґошин (2014)[3]).

Для натуральних r і m (r < m), дигамма функцію можна виразити через сталу Ейлера і скінченного числа елементарних функцій

${\displaystyle \psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)}$

дане вираження правильне спираючись на рекурсію для всіх раціональних аргументів.

• Weisstein, Eric W. Digamma Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Властивості дигамма-функції (англ.)