Гармонічне число

Перелічені нижче формули можна використати для обчислення гармонічних чисел (зокрема й у точках, відмінних від точок натурального ряду):

• інтегральні подання:

  ${\displaystyle H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}dt,\quad Re(x)>-1}$

• граничні подання:

  ${\displaystyle H_{x}=\lim _{n\to \infty }\left(\ln(n)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{x+k+1}}\right)+\gamma }$

  ${\displaystyle H_{x}=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)(x+k+1)}}}$;

• розкладання в ряд Тейлора в точці ${\displaystyle x=0}$:

  ${\displaystyle H_{x}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)x^{k}=\zeta (2)x-\zeta (3)x^{2}+\zeta (4)x^{3}-\zeta (5)x^{4}+\cdots ,}$

  де ${\displaystyle \zeta (x)}$ — дзета-функція Рімана;

• асимптотичний розклад:

  ${\displaystyle H_{x}=\gamma +\ln(x)+{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+{\frac {1}{240x^{8}}}-{\frac {1}{132x^{10}}}+\cdots }$ .

• ${\displaystyle H_{1/2}=2-2\ln 2}$

• ${\displaystyle H_{1/3}=3-{\frac {3\ln 3}{2}}-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}}$

• ${\displaystyle H_{1/4}=4-3\ln 2-{\frac {\pi }{2}}}$

• ${\displaystyle H_{1/5}=5-{\frac {5\ln 5}{4}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\pi -{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln \varphi ,}$

де ${\displaystyle \varphi }$ — золотий перетин.

• ${\displaystyle H_{1/7}=7-\ln 14-{\frac {\pi }{2}}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{7}}-2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\ln \left(\cos {\frac {\pi }{14}}\right)+2\sin \left({\frac {3\pi }{14}}\right)\ln \left(\sin {\frac {\pi }{7}}\right)-2\sin \left({\frac {\pi }{14}}\right)\ln \left(\cos {\frac {3\pi }{14}}\right)}$

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{H_{k}}=(n+1){H_{n}}-n=(n+1)({H_{n+1}}-1)}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k}}=\infty }$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}=2\zeta (3)}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{3}}}={\frac {1}{2}}\zeta (2)^{2}={\frac {5}{4}}\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{72}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{4}}}=3\zeta (5)-\zeta (2)\zeta (3)=3\zeta (5)-{\frac {\pi ^{2}}{6}}\zeta (3)}$

• ${\displaystyle (H_{n})^{3}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{ijk}}}$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{1}{\frac {1}{ijk}}={\frac {1}{2}}H_{n}(H_{n}^{2}-\zeta _{n}(2))}$, де ${\displaystyle \zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}}$
• ${\displaystyle \zeta _{n}(2)=(H_{n})^{2}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {2H_{k}}{k+1}}-1}$, де ${\displaystyle \zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}}$
• ${\displaystyle H_{n^{2}}+1=(H_{n})^{2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(H_{(k+1)^{2}-1}-{\frac {2H_{k}}{k+1}}-H_{k^{2}}\right)}$

За допомогою формули підсумовування Ейлера — Маклорена отримуємо таку формулу:

${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}+\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}}},}$

де ${\displaystyle 0<\theta _{m,n}<1}$, ${\displaystyle \gamma }$ — стала Ейлера, яку можна обчислити швидше з інших міркувань^[яких?], а ${\displaystyle B_{k}}$ — числа Бернуллі.

• Теорема Вольстенгольма стверджує, що для будь-якого простого числа ${\displaystyle p>3}$ виконується порівняння:

  ${\displaystyle H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}.}$

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\H_{3}&=&{\frac {11}{6}}&\approx &1{,}833\\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\approx &2{,}083\\\\H_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\approx &2{,}283\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363}{140}}&\approx &2{,}593\\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\approx &2{,}718\\\\H_{10^{3}}&\approx &7{,}484\\\\H_{10^{6}}&\approx &14{,}393\end{matrix}}}$

Чисельник і знаменник нескоротного дробу, що являє собою n-e гармонійне число, є n-ми членами цілочисельних послідовностей A001008 і A002805, відповідно.