Диз'юнкція (логіка)

Діаграма Венна для операції ${\displaystyle A\lor B}$

У булевій алгебрі диз'юнкція — це функція двох, трьох або більшої кількості змінних (вони ж — операнди операції, вони ж — аргументи функції). Правило: результат дорівнює 0, якщо всі операнди рівні 0; у всіх інших випадках результат дорівнює 1.

Таблиця істинності виглядає таким чином:

${\displaystyle ~A}$	${\displaystyle ~B}$	${\displaystyle A\lor B}$
хибність	хибність	хибність
хибність	істина	істина
істина	хибність	істина
істина	істина	істина

Відповідною операцією в теорії множин є об'єднання множин.

• асоціативність

${\displaystyle a\lor (b\lor c)\equiv (a\lor b)\lor c}$

• комутативність

${\displaystyle a\lor b\equiv b\lor a}$

• дистрибутивність[4]

${\displaystyle a\land (b\lor c)\equiv (a\land b)\lor (a\land c)}$

${\displaystyle a\lor (b\land c)\equiv (a\lor b)\land (a\lor c)}$

${\displaystyle a\lor (b\leftrightarrow c)\equiv (a\lor b)\leftrightarrow (a\lor c)}$

• ідемпотентність

${\displaystyle a\lor a\equiv a}$

• монотонність

${\displaystyle (a\rightarrow b)\rightarrow ((a\lor c)\rightarrow (b\lor c))}$

Множина операцій ${\displaystyle \{\lor ,\lnot \}}$ є функціонально повною:

${\displaystyle a\land b\equiv \lnot (\lnot a\lor \lnot b)}$

${\displaystyle a\rightarrow b\equiv \lnot a\lor b}$

${\displaystyle a\;|\;b\equiv \lnot a\lor \lnot b}$

${\displaystyle a\downarrow b\equiv \lnot (a\lor b)}$

Диз'юнкція часто використовується для двійкових операцій. Наприклад: Логічний елемент 2АБО AB f (A B)

• 0 ${\displaystyle \lor }$ 0 = 0
• 0 ${\displaystyle \lor }$ 1 = 1
• 1 ${\displaystyle \lor }$ 0 = 1
• 1 ${\displaystyle \lor }$ 1 = 1
• 1010 ${\displaystyle \lor }$ 1110 = 1110

Мнемонічне правило для диз'юнкції з будь-якою кількістю входів звучить так: На виході буде: «1» тоді й тільки тоді, коли хоча б на одному вході є «1», «0» тоді й тільки тоді, коли на всіх входах «0».

У багатозначній логіці операція диз'юнкції може визначатися іншими способами. Найчастіше застосовують схему: a${\displaystyle \lor }$ b= max(a, b), де a, b € [0,1]. Можливі й інші варіанти. Як правило, намагаються зберегти сумісність із булевою алгеброю для значень операндів 0, 1.

У комп'ютерних мовах використовують два основні варіанти диз'юнкції: логічне «АБО» і побітове «АБО». Наприклад, у мовах C / C++ логічне «АБО» позначається символом "||", а побітове — символом "|". У мовах Pascal / Delphi обидва види диз'юнкції позначають із використанням ключового слова «or», а результат дії визначається типом операндів. Якщо операнди мають логічний тип (наприклад, Boolean), то виконується логічна операція; якщо цілочисельний (наприклад, Byte) — порозрядне. Логічне «АБО» застосовується в операторах умовного переходу або в аналогічних випадках, коли потрібне отримання результату false або true. Наприклад:

if  (a || b) {/* певні дії */}; 

Результат буде дорівнювати false, якщо обидва операнда рівні false або 0. За будь-яких інших умов результат буде дорівнювати true. При цьому справедлива стандартна умова: якщо значення лівого операнда є true, то значення правого операнда не обчислюється (замість b може стояти будь-яка складна формула). Це прискорює виконання програми і стає у пригоді за деяких обставин. Побітове «АБО» виконує звичайну операцію булевої алгебри для всіх бітів лівого і правого операнда попарно. Наприклад, якщо a = 01100101 b = 00101001, то a АБО b = 01101101

• Булева множина
• Закони де Моргана
• Умовна диз'юнкція
• Виключна диз'юнкція

• Диз'юнкція // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін. — Київ : Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України : Абрис, 2002. — С. 155. — 742 с. — 1000 екз. — ББК 87я2. — ISBN 966-531-128-X.

1. Aloni, Maria (23 березня 2016). Disjunction. Процитовано 28 січня 2022.
2. disjunction | logic | Britannica. www.britannica.com (англ.). Процитовано 28 січня 2022.
3. Józef Maria Bocheński. Wikipedia (англ.). 5 січня 2022. Процитовано 28 січня 2022.
4. Double turnstile. Wikipedia (англ.). 5 січня 2022. Процитовано 28 січня 2022.