Бінарна операція

Бінарною операцією на множині ${\displaystyle \,S}$ є відображення декартового добутку ${\displaystyle \,S\times S}$ в множину ${\displaystyle \,S}$:

${\displaystyle \,f\colon S\times S\rightarrow S.}$

Бінарні операції часто записують за допомогою інфікса, наприклад, a * b, a + b, a • b, замість функціонального запису f(a, b).

Іноді елементи просто пишуть одне за одним без інфікса: ab.

Бінарні операції є наріжним каменем алгебраїчних структур, що їх вивчають в абстрактній алгебрі.

Бінарні операції входять в означення таких структур, як групи, моноїди, напівгрупи, кільця, поля тощо.

За визначенням: магма є множиною з довільною бінарною операцією на ній.

Багато бінарних операцій, що становлять інтерес, є комутативними чи асоціативними. Багато з них також мають нейтральний елемент та обернені елементи.

Типовими прикладами таких бінарних операцій є додавання (+) і множення (*) чисел та матриць.

Прикладами некомутативних бінарних операцій є віднімання (-), ділення (/), піднесення до степеня (^), композиція функцій.

Деякі операції мають властивість ідемпотентності чи дистрибутивності.

• арифметичні дії з числами: додавання, віднімання, множення, ділення;
• додавання, множення матриць;
• об'єднання і перетин множин;
• добуток графів.

Зовнішня бінарна операція - це бінарна операція з ${\displaystyle \,K\times S}$ в ${\displaystyle \,S}$. Вона відрізняється від бінарної операції тим, що K не обов'язково є S, її елементи беруться "зовні".

Прикладом зовнішньої бінарної операції є множення на скаляр в лінійній алгебрі. В цьому випадку K є полем, а S - векторним простором над цим полем.

Зовнішню бінарну операцію можна з іншого боку розглядати як групову дію: K діє на S.

• Арність
• Унарна операція
• Тернарна операція