Доказові обчислення

Доказові обчислення — цілеспрямовані комп'ютерні обчислення, комбіновані з аналітичними дослідженнями, які призводять до строгого встановлення нових фактів і доведення теорем[1].

Достовірні обчислення

Одним із часто застосовуваних методів доказових обчислень є достовірні обчислення. Під достовірними обчисленнями мають на увазі чисельні методи з автоматичною верифікацією точності одержуваних результатів[2]. Досить часто доказові обчислення будуються на основі інтервального аналізу, де замість дійсних чисел розглядаються інтервали, які визначають точність величин. Інтервальний аналіз широко застосовується для обчислень з гарантованою точністю в умовах машинної арифметики.

Приклади

У теорії чисел

Завдяки тому, що теорія чисел багато в чому оперує цілими числами, використання доказових обчислень у теорії чисел виявляється дуже плідним.

  • Стверджується, що число Мерсенна є простим. Перевірити цей факт теоретично може людина, але практично — лише з використанням обчислювальної техніки.
  • Л. Ейлер висунув гіпотезу, що рівняння не має розв'язків у цілих додатних числах. Проте пізніше було показано, що існує принаймні один розв'язок:
, , , , .

Причому цей розв'язок знайдено шляхом перебору на комп'ютері[1].

У теорії графів

Одним з найвідоміших успішних застосувань доказових обчислень у теорії графів є розв'язання проблеми чотирьох фарб. Цю відому задачу поставлено 1852 року і сформульовано так: «з'ясувати, чи можна кожну розташовану на сфері карту розфарбувати чотирма фарбами так, щоб будь-які дві ділянки, які мають спільну межу, були розфарбовані в різні кольори». 1976 року К. Аппель і В. Гакен за допомогою доказових обчислень показали, що так можна розфарбувати будь-яку карту.

У гідродинаміці

Застосуванням доказових обчислень у математичних задачах гідродинаміки систематично займалися в Інституті прикладної математики ім. М. В. Келдиша РАНпід керівництвом К. І. Бабенка. Прикладом є така теорема, отримана з допомогою доказових обчислень[3]:

Теорема. При і спектральна задача Орра — Зоммерфельда має власне значення, яке лежить у півплощині . Отже, в лінеаризованій постановці за цих параметрів течія Пуазейля нестійка.

Ще приклади

Див. також

Примітки

  1. Бабенко К. И. . Основы численного анализа. — М. : Наука, 1986.
  2. Кулиш У., Рац Д., Хаммер Р., Хокс М. Достоверные вычисления. Базовые численные методы. — РХД, 2005.
  3. Бабенко К. И., Васильев М. М. О доказательных вычислениях в задаче об устойчивости течения Пуазейля // ДАН СССР.  1983. Т. 273, № 6 (29 січня). С. 1289—1294.

Література

  • Панков П.С. Доказательные вычислениях на электронно-вычислительных машинах. — Фрунзе : Илим, 1978. — 179 с.
  • К. И. Бабенко. О доказательных вычислениях и математическом эксперименте на ЭВМ // УМН.  1985. Т. 40, № 4(244) (29 січня). С. 137—138.
  • Бабенко К. И., Петрович В. Ю., Рахманов А. И. О доказательном эксперименте в теории поверхностных волн конечной амплитуды // Докл. АН. .  1988. Т. 303, № 5 (29 січня). С. 1033—1037.

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.