Екзотична сфера

Перші приклади екзотичних сфер були побудовані Джоном Мілнором в розмірності 7; він довів, що на ${\displaystyle S^{7}}$ існує як мінімум 7 різних гладких структур. Тепер відомо, що ${\displaystyle S^{7}}$ має 28 гладких структур.

Ці приклади, так звані сфери Мілнора, були знайдені серед просторів ${\displaystyle S^{3}}$-розшарувань над ${\displaystyle S^{4}}$. Такі розшарування класифікуються двома цілими числами ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ — елементом ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}=\pi _{3}(\mathrm {SO} (4))}$. Деякі з цих розшарувань ${\displaystyle M_{a,b}}$ гомеоморфні стандартній сфері, і при цьому не дифеоморфні їй.

Оскільки ${\displaystyle M_{a,b}}$ одинзв'язні, згідно узагальненої гіпотези Пуанкаре, перевірка гомеоморфності ${\displaystyle M_{a,b}}$ і ${\displaystyle S^{7}}$ зводиться до підрахунку гомологій ${\displaystyle M_{a,b}}$; ця умова накладає певні умови на ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$.

У доведенні недифеоморфності Мілнор міркує від противного. Він зауважує, що многовид ${\displaystyle M_{a,b}}$ є межею 8-вимірного многовиду — простору ${\displaystyle W_{a,b}}$ розшарування диска ${\displaystyle D^{4}}$ над ${\displaystyle S^{4}}$. Далі, якщо ${\displaystyle M_{a,b}}$ дифеоморфний стандартній сфері, то ${\displaystyle W_{a,b}}$ можна заклеїти кулею, отримавши замкнутий гладкий 8-вимірний многовид. Підрахунок сигнатури отриманого многовиду через його числа Понтрягіна призводить до протиріччя.

• Теорія Серфа