Гіперсфера

Розглянемо гіперсферу в N-вимірному евклідовому просторі. В цьому просторі будемо розглядати прямокутну декартову систему координат ${\displaystyle \{x^{1},x^{2},\dots x^{N}\}}$, початок якої збігається з центром гіперсфери. Тоді скалярний квадрат радіус-вектора ${\displaystyle \mathbf {r} }$ для точки на гіперсфері дорівнює квадрату радіуса ${\displaystyle a}$ гіперсфери:

${\displaystyle (1)\qquad \mathbf {r} ^{2}=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} )=a^{2}}$

або, розписуючи скалярний добуток в координатах, одержуємо рівняння гіперсфери:

${\displaystyle (2)\qquad (x^{1})^{2}+(x^{2})^{2}+\dots +(x^{N})^{2}=\sum _{i=1}^{N}(x^{i})^{2}=a^{2}}$

Ми можемо із рівняння (2) виразити одну із координат, скажімо ${\displaystyle x^{N}}$, через решту ${\displaystyle n=N-1}$ координату:

${\displaystyle (3)\qquad x^{N}=\pm {\sqrt {a^{2}-\sum _{i=1}^{n}(x^{i})^{2}}}}$

Знак плюс (+) в цій формулі відповідає верхній півсфері, а знак мінус — нижній. Розглянемо верхню півсферу. Кожну точку цієї півсфери можна задати набором ${\displaystyle n=N-1}$ чисел ${\displaystyle \{x^{1},x^{2},\dots x^{n}\}}$, які збігаються з декартовими координатами охоплюючого простору:

${\displaystyle (4)\qquad \mathbf {r} =\mathbf {r} (u^{1},u^{2},\dots u^{n})}$

де

${\displaystyle (6)\qquad u^{1}=x^{1},\;u^{2}=x^{2},\;\dots \;u^{n}=x^{n}}$

Радіус-вектор ${\displaystyle \mathbf {r} }$ можна записати покомпонентно у вигляді вектор-рядка:

${\displaystyle (7)\qquad \mathbf {r} =\{u^{1},u^{2},\dots u^{n},z\}}$

де функція ${\displaystyle z=z(u^{1},\dots u^{n})}$ дається формулою (3) з додатнім знаком:

${\displaystyle (8)\qquad z={\sqrt {a^{2}-\sum _{i=1}^{n}(u^{i})^{2}}}}$

Ми можемо обчислити координатний вектор ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$, беручи похідну формули (7) по відповідній координаті:

${\displaystyle (9)\qquad \mathbf {r} _{i}={\partial \mathbf {r} \over \partial u^{i}}=\{0,0,\dots 1,\dots 0,z_{i}\}}$

В фігурних дужках одиниця стоїть на ${\displaystyle i}$-тому місці, ${\displaystyle z_{i}={\partial z \over \partial u^{i}}}$, а решта координат дорівнюють нулю.

Із формули (9) легко можна обчислити метричний тензор на гіперсфері:

${\displaystyle (10)\qquad g_{ij}=(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j})=\delta _{ij}+z_{i}z_{j}}$

Далі, за аналогією з колом або звичайною сферою можна здогадатися, що вектор нормалі ${\displaystyle \mathbf {n} }$ до гіперсфери паралельний радіус-вектору ${\displaystyle \mathbf {r} }$. Дійсно, розглядаючи похідні рівняння (1) по координатах, маємо:

${\displaystyle (11)\qquad {\partial \over \partial u^{i}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} )=2(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} _{i})=0}$

Тобто радіус-вектор ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ортогональний базисним координатним векторам ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$, а отже ортогональний поверхні гіперсфери. Якщо ми направимо одиничний вектор нормалі ${\displaystyle \mathbf {n} }$ всередину сфери, то:

${\displaystyle (12)\qquad \mathbf {r} =-|\mathbf {r} |\mathbf {n} =-a\mathbf {n} ,\qquad \mathbf {n} =-{\mathbf {r} \over a}}$

Із розкладу вектора другої похідної радіус-вектора на паралельну і перпендикулярну щодо многовида частини:

${\displaystyle (13)\qquad {\partial ^{2}\mathbf {r} \over \partial u^{i}\partial u^{j}}=\mathbf {r} _{ij}=\Gamma _{ij}^{k}\mathbf {r} _{k}+\mathbf {n} b_{ij}}$

можна одержати коефіцієнти другої квадратичної форми ${\displaystyle b_{ij}}$ через скалярні добутки:

${\displaystyle (14)\qquad b_{ij}=(\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} _{ij})=-{1 \over a}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} _{ij})}$

Далі, диференціюючи формулу (11) по ${\displaystyle u^{j}}$, маємо таку рівність:

${\displaystyle (15)\qquad 0={\partial \over \partial u^{j}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} _{i})=(\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {r} _{i})+(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} _{ij})=g_{ij}-ab_{ij}}$

Отже коефіцієнти другої квадратичної форми пропорційні метричному тензору:

${\displaystyle (16)\qquad b_{ij}={1 \over a}g_{ij}}$

Це сподіваний результат, він означає, що проведені з однієї точки на гіперсфері в різних напрямках геодезичні лінії мають однакову кривину, яка є числом, оберненим до радіуса гіперсфери. Дійсно, нехай ми позначимо через ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={d\mathbf {r} \over ds}}$ одиничний дотичний вектор до геодезичної, тоді кривина геодезичної лінії дорівнює:

${\displaystyle (17)\qquad \mathbf {k} =\mathbf {b} _{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}=\mathbf {n} {1 \over a}g_{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}={\mathbf {n} \over a}}$

Маючи формулу (16) для коефіцієнтів другої квадратичної форми, легко знайти, що тензор Рімана ${\displaystyle R_{ijkl}}$ у випадку гіперсфери пропорційний тензору метричної матрьошки ${\displaystyle g_{ij,kl}}$:

${\displaystyle (18)\qquad R_{ijkl}=b_{ik}b_{jl}-b_{il}b_{jk}={1 \over a^{2}}\left(g_{ik}g_{il}-g_{il}g_{jk}\right)={1 \over a^{2}}\,g_{ij,kl}}$

Цю ж формулу, хоча і значно складніше, можна одержати тільки із внутрішньої геометрії, користуючись виразом (10) для метричного тензора ${\displaystyle g_{ij}}$. Спочатку обчислюємо символи Крістофеля першого роду:

${\displaystyle (19)\qquad \Gamma _{ij,k}={1 \over 2}\left(\partial _{i}g_{kj}+\partial _{j}g_{ik}-\partial _{k}g_{ij}\right)={1 \over 2}\left(\partial _{i}(z_{k}z_{j})+\partial _{j}(z_{i}z_{k})-\partial _{k}(z_{i}z_{j})\right)=}$

${\displaystyle \qquad ={1 \over 2}\left(z_{ik}z_{j}+z_{k}z_{ij}+z_{ij}z_{k}+z_{i}z_{jk}-z_{ik}z_{j}-z_{i}z_{jk}\right)=z_{k}z_{ij}}$

В цій формулі фігурують перші та другі похідні від функції багатьох змінних ${\displaystyle z=z(u^{1},u^{2},\dots u^{n})}$ (формула 8). Обчислимо їх:

${\displaystyle (20)\qquad z_{i}={\partial \over \partial u^{i}}{\sqrt {a^{2}-\sum (u^{k})^{2}}}=-{u^{i} \over {\sqrt {a^{2}-\sum (u^{k})^{2}}}}=-{u^{i} \over z}}$

${\displaystyle (21)\qquad z_{ij}=\partial _{j}\left(-{u^{i} \over z}\right)=-{\delta _{ij} \over z}+u^{i}{z_{j} \over z^{2}}=-{\delta _{ij}+z_{i}z_{j} \over z}=-{g_{ij} \over z}}$

Тензор Рімана можна обчислити за наступною формулою:

${\displaystyle (22)\qquad R_{\;ijk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{ki}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{ji}^{s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{ki}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ji}^{p}}$

Щоб скористатися цією формулою, нам потрібні символи Крістофеля другого роду (з одним верхнім індексом). Але перш ніж взятися за обчислення символів Крістофеля другого роду, спробуємо опустити в формулі (22) індекс ${\displaystyle s}$:

${\displaystyle (23)\qquad R_{lijk}=g_{ls}R_{\;ijk}^{s}=\left(\partial _{j}(g_{ls}\Gamma _{ki}^{s})-(\partial _{j}g_{ls})\Gamma _{ki}^{s}\right)-\left(\partial _{k}(g_{ls}\Gamma _{ji}^{s})-(\partial _{k}g_{ls})\Gamma _{ji}^{s}\right)+g_{ls}\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{ki}^{p}-g_{ls}\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ji}^{p}=}$

${\displaystyle \qquad =\partial _{j}\Gamma _{ki,l}-\left(\Gamma _{jl,s}+\Gamma _{js,l}\right)\Gamma _{ki}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{ji,l}+\left(\Gamma _{kl,s}+\Gamma _{ks,l}\right)\Gamma _{ji}^{s}+\Gamma _{jp,l}\Gamma _{ki}^{p}-\Gamma _{kp,l}\Gamma _{ji}^{p}=}$

${\displaystyle \qquad =\partial _{j}\Gamma _{ki,l}-\partial _{k}\Gamma _{ji,l}+\Gamma _{kl,p}\Gamma _{ji}^{p}-\Gamma _{jl,p}\Gamma _{ki}^{p}}$

або після перейменування індексів:

${\displaystyle (24)\qquad R_{ijkl}=\partial _{k}\Gamma _{lj,i}-\partial _{l}\Gamma _{kj,i}+\Gamma _{li,s}\Gamma _{kj}^{s}-\Gamma _{ki,s}\Gamma _{lj}^{s}}$

В формулі (24) все ще зустрічаються символи Крістофеля другого роду, і нам треба їх обчислити. Але спочатку нам буде потрібен обернений метричний тензор ${\displaystyle g^{ij}}$. Можна вгадати, що формула для оберненого метричного тензора буде аналогічною формулі (10), але другий доданок взятий з деяким коефіцієнтом ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle (25)\qquad g^{ij}=\delta _{ij}+kz_{i}z_{j}}$

Цей коефіцієнт легко знаходиться з умови, що матриці (10) і (25) є взаємно оберненими, а тому їхній добуток дорівнює одиничній матриці:

${\displaystyle (26)\qquad \delta _{ij}=\sum _{s}g_{is}g^{sj}=\sum _{s}\left(\delta _{is}+z_{i}z_{s}\right)\left(\delta _{sj}+kz_{s}z_{j}\right)=}$

${\displaystyle \qquad =\sum _{s}\left(\delta _{is}\delta _{sj}+k\delta _{is}z_{s}z_{j}+\delta _{sj}z_{i}z_{s}+kz_{i}z_{s}z_{s}z_{j}\right)=\delta _{ij}+kz_{i}z_{j}+z_{i}z_{j}+kqz_{i}z_{j}}$

де буквою ${\displaystyle q}$ позначено суму квадратів похідних (20):

${\displaystyle (27)\qquad q=\sum _{s}z_{s}^{2}=\sum _{s}\left(-{u^{s} \over z}\right)^{2}={a^{2}-z^{2} \over z^{2}}={a^{2} \over z^{2}}-1}$

Порівнюючи крайні вирази в формулі (26), ми бачимо, що сума трьох останніх доданків має дорівнювати нулю, або:

${\displaystyle (28)\qquad 0=k+1+kq=k+1+k\left({a^{2} \over z^{2}}-1\right)=1+k{a^{2} \over z^{2}}}$

Звідси легко знайти коефіцієнт ${\displaystyle k}$, і ми можемо підставити його в формулу (25):

${\displaystyle (29)\qquad g^{ij}=\delta _{ij}-{z^{2} \over a^{2}}z_{i}z_{j}}$

Далі із формул (19) і (29) знаходимо символ Крістофеля другого роду:

${\displaystyle (30)\qquad \Gamma _{ij}^{s}=g^{sk}\Gamma _{ij,k}=\sum _{k}\left(\delta _{sk}-{z^{2} \over a^{2}}z_{s}z_{k}\right)z_{k}z_{ij}=\left(1-{z^{2} \over a^{2}}q\right)z_{s}z_{ij}={z^{2} \over a^{2}}z_{s}z_{ij}}$

Нарешті, підставляємо (19) і (30) в формулу (24) для тензора Рімана:

${\displaystyle (31)\qquad R_{ijkl}=\partial _{k}(z_{i}z_{jl})-\partial _{l}(z_{i}z_{jk})+\sum _{s}\left(z_{s}z_{il}{z^{2} \over a^{2}}z_{s}z_{jk}-z_{s}z_{ik}{z^{2} \over a^{2}}z_{s}z_{jl}\right)=}$

${\displaystyle \qquad =z_{ik}z_{jl}-z_{il}z_{jk}-q{z^{2} \over a^{2}}\left(z_{ik}z_{jl}-z_{il}z_{jk}\right)={z^{2} \over a^{2}}\left(z_{ik}z_{jl}-z_{il}z_{jk}\right)}$

Якщо врахувати формулу (21) для ${\displaystyle z_{ij}}$, то ми знову одержимо формулу (18).

Оскільки згідно з формулою (17) всі головні кривини гіперсфери однакові:

${\displaystyle (32)\qquad k_{1}=k_{2}=\dots =k_{n}={1 \over a}}$

то легко можна обчислити кривину Ґаусса ${\displaystyle K^{[m]}}$, як симетричний многочлен від головних кривин:

${\displaystyle (33)\qquad K^{[m]}=(-1)^{m}\sum _{i_{1}<i_{2}<\dots <i_{m}}k_{i_{1}}k_{i_{2}}\cdots k_{i_{m}}={(-1)^{m} \over a^{m}}C_{n}^{m}}$

де ${\displaystyle C_{n}^{m}={n! \over m!(n-m)!}}$ — біноміальний коефіцієнт.

Також неважко обчислюється степеневий тензор Річчі, якщо врахувати формулу (16) та формулу самозгортки тензора метричної матрьошки:

${\displaystyle (34)\qquad R_{j}^{[m]\,i}={(-1)^{m} \over (m-1)!}g_{p_{1}p_{2}\dots p_{m}}^{is_{2}\dots s_{m}}b_{j}^{p_{1}}b_{s_{2}}^{p_{2}}\cdots b_{s_{m}}^{p_{m}}={(-1)^{m} \over a^{m}}C_{n-1}^{m-1}\delta _{j}^{i}}$

Він виявляється пропорційним метричному тензору.

Відповідний тензор Ейнштейна можна знайти, користуючись попередніми двома формулами:

${\displaystyle (35)\qquad G_{j}^{[m]\,i}=R_{j}^{[m]\,i}-K^{[m]}\delta _{j}^{i}={(-1)^{m} \over a^{m}}\left(C_{n-1}^{m-1}-C_{n}^{m}\right)\delta _{j}^{i}={(-1)^{m-1} \over a^{m}}C_{n-1}^{m}\delta _{j}^{i}}$

Примітка: Формула (35) виявилася корисною для пошуку симетричного розв'язку рівняння Ейнштейна з космологічним членом. Дійсно, в формулі (35), так само як і в рівнянні Ейнштейна, тензор Ейнштейна пропорційний метричному тензору. Оскільки метрика фізичного простору-часу є псевдоевклідовою (знаконевизначеною) розмірності чотири, то очевидно що розв'язок має бути аналогом гіперсфери в п'ятивимірному псевдоевклідовому просторі - Простір де Сіттера

Розглянемо наступний кратний інтеграл Ґаусса в ${\displaystyle N}$-вимірному евклідовому просторі:

${\displaystyle (36)\qquad I_{N}=\int e^{-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{N}^{2})}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{N}}$

Цей інтеграл можна обчислювати двома способами.

По-перше, за теоремою Фубіні він розкладається в добуток однакових одновимірних інтегралів Ґаусса:

${\displaystyle (37)\qquad I_{N}=\int e^{-x_{1}^{2}}dx_{1}\cdots \int e^{-x_{N}^{2}}dx_{N}=I^{N}}$

Де введено позначення одновимірного інтеграла Ґаусса:

${\displaystyle (38)\qquad I=\int e^{-x^{2}}dx}$

По-друге, сума квадратів координат в формулі (36) дорівнює квадрату відстані від точки початку координат:

${\displaystyle (39)\qquad r^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}}$

і ми можемо інтегрувати (36) спочатку по поверхні гіперсфери радіуса ${\displaystyle r}$, де підінтегральна функція незмінна, а потім уже результат по радіусу від нуля до нескінченності:

${\displaystyle (40)\qquad I_{N}=\int _{0}^{\propto }E(r)\,dr}$

Інтеграл по гіперсфері легко обчислюється:

${\displaystyle (41)\qquad E(r)=\int _{\mbox{hypersphere}}e^{-r^{2}}\,dS=e^{-r^{2}}\int _{\mbox{hypersphere}}dS=e^{-r^{2}}r^{N-1}\omega _{N}}$

Тут ми винесли постійний множник за знак інтеграла, і врахували, що при перетворенні подібності з коефіцієнтом ${\displaystyle r}$ площа одиничної гіперсфери ${\displaystyle \omega _{N}}$ збільшується в ${\displaystyle r^{n}}$ разів, де ${\displaystyle n=N-1}$ - розмірність цієї площі. Підставляючи (41) в (40), одержуємо одновимірний інтеграл, який підстановкою ${\displaystyle r^{2}=t}$ зводиться до гамма-функції Ейлера ${\displaystyle \Gamma (a)=\int _{0}^{\propto }e^{-t}t^{a-1}dt}$ підстановкою ${\displaystyle r^{2}=t}$:

${\displaystyle (42)\qquad I_{N}=\omega _{N}\int _{0}^{\propto }e^{-r^{2}}r^{N-1}dr=\omega _{N}\int _{0}^{\propto }e^{-t}t^{N-1 \over 2}{dt \over 2{\sqrt {t}}}={\omega _{N} \over 2}\int _{0}^{\propto }e^{-t}t^{{N \over 2}-1}dt={\omega _{N} \over 2}\Gamma ({N \over 2})}$

Порівнюючи цей результат з формулою (37), ми можемо обчислити площу ${\displaystyle \omega _{N}}$ гіперсфери одиничного радіуса через інтеграл Ґаусса (38):

${\displaystyle (43)\qquad {\omega _{N} \over 2}\Gamma ({N \over 2})=I^{N}}$

${\displaystyle (44)\qquad \omega _{N}={2I^{N} \over \Gamma ({N \over 2})}}$

У випадку розмірності два, ми знаємо формулу довжини кола ${\displaystyle L=\omega _{2}=2\pi }$, і в цьому випадку можемо обчислити інтегал Ґаусса:

${\displaystyle (45)\qquad 2\pi =\omega _{2}={2I^{2} \over \Gamma (1)}=2I^{2}}$

${\displaystyle (46)\qquad I={\sqrt {\pi }}}$

Підставляючи (46) в (44) знаходимо остаточну формулу для площі ${\displaystyle n}$-вимірної гіперсфери одиничного радіуса:

${\displaystyle (47)\qquad \omega _{N}={2\pi ^{N \over 2} \over \Gamma ({N \over 2})}}$

де ${\displaystyle N=n+1}$ - розмірність евклідового простору, в який вміщена гіперсфера.

Для обчислення об'єму кулі радіуса ${\displaystyle R}$, розібємо кулю концентричними гіперсферами радіуса ${\displaystyle r,\;(0<r\leq R)}$ і площею ${\displaystyle S(r)=\omega _{N}r^{N-1}}$ на прошарки товщиною ${\displaystyle dr}$, тоді:

${\displaystyle (48)\qquad V(R)=\int _{0}^{R}S(r)\,dr=\omega _{N}\int _{0}^{R}r^{N-1}dr={\omega _{N} \over N}R^{N}}$

• 3-сфера