Експоненційний розпад

Якщо речовина, що розпадається, N(t), це кількість окремих елементів в певній множині, можливо підрахувати середній час поки елемент залишається у множині. Його називають середньою тривалістю життя і можна показати, що вона пов'язана із швидкістю розпаду, λ, так:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}.}$

Середню тривалість життя можна розглядати як коефіцієнт масштабування часу, бо ми можемо записати рівняння експоненційного розпаду в термінах середньої тривалості життя, τ, замість сталої розпаду, λ:

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau }.\,}$

ми можемо бачити, що τ це час за який сукупність зменшилась в 1/e = 0.367879441 разів.

Наприклад, якщо початкова кількість, сукупність збірки, N(0), становить 1000, тоді в час τ, сукупність, N(τ), становитиме 368.

Дуже схоже рівняння ми побачимо нижче, воно випливає коли замість e вибрати 2 як базу показникової функції. У цьому випадку отримаємо період напіврозпаду.

Для багатьох людей інтуїтивнішою характеристикою експоненційного розпаду є час потрібний, щоб кількість речовини, що розпадається, зменшилась вдвічі. Цей час відомий як період напіврозпаду, і часто позначається символом t_1/2. Період напіврозпаду можна записати в термінах сталої розпаду або середньої тривалості життя як:

${\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}=\tau \ln(2).}$

Коли вставити цей вираз у ${\displaystyle \tau }$ в показниковому рівнянні вище і врахувати ln 2 в базі, рівняння переходить у:

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.\,}$

Отже, обсяг матеріалу, що залишився є 2⁻¹ = 1/2 піднесений до (цілого або дрібного) числа періодів напіврозпад, які минули. Таким чином, після трьох таких періодів залишиться 1/2³ = 1/8 від стартової кількості.

Звідси, середня тривалість життя ${\displaystyle \tau }$ дорівнює періоду напіврозпаду розділеному на натуральний логарифм 2 або:

${\displaystyle \tau ={\frac {t_{1/2}}{\ln 2}}\approx 1.44\cdot t_{1/2}.}$

Наприклад, період напіврозпаду полонію-210 становить 138 днів, а середня тривалість життя 200 днів.

Маючи набір елементів, число яких зрештою зменшуються до нуля, середня тривалість життя, ${\displaystyle \tau }$, це математичне сподівання часу необхідного для того, щоб об'єкт покинув набір. Конкретно, якщо особиста тривалість життя елемента набору це час між деяким часом відліку і видаленням елементу з набору, тоді середня тривалість життя це просто середнє арифметичне окремих тривалостей життя.

Починаючи з формули

${\displaystyle N=N_{0}e^{-\lambda t},\,}$

ми спершу введемо нормалізаційний множник c для переходу до густини ймовірності:

${\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}}$

або після перебудови

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{N_{0}}}.}$

Ми бачимо, що експоненційний розпад це помножений на скаляр експоненційний розподіл (тобто тривалість життя кожного об'єкта розподілена експоненційно), який має має добре відоме математичне сподівання. Ми можемо обчислити його тут через використання інтегрування частинами.

${\displaystyle \tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}.}$

Речовина може розпадатись через два чи більше процеси розпаду одночасно. Звичайно, ці процеси (відомі як «типи розпаду», «канали розпаду», «шляхи розпаду» і т.д.) мають різні ймовірності відбуття і, отже, відбуваються з різними швидкостями і різними періодами напіврозпаду одночасно.[1] Загальна швидкість розпаду речовини N задається через суму шляхів розпаду; звідси, у випадку двох процесів:

${\displaystyle -{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N.}$

Розв'язок для цього рівняння наведено у попередньому розділі, де сума ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}}$ трактується як нова загальна стала розпаду ${\displaystyle \lambda _{c}}$.

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda _{c})t}.}$