Експоненційний розподіл

Випадкова величина ${\displaystyle X}$ має експоненційний розподіл з параметром ${\displaystyle \lambda >0}$, якщо її густина має вигляд

${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}\lambda \,e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}$.

Часто можна бачити експоненційний розподіл зі зсувом(параметр зсуву ${\displaystyle x_{0}}$)

${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}\lambda \,e^{-\lambda (x-x_{0})}&,\;x\geq x_{0},\\0&,\;x<x_{0}.\end{matrix}}\right.}$.

Інколи сімейство експоненційних розподілів параметризують зворотнім параметром ${\displaystyle 1/\lambda }$:

${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{1 \over \lambda }\,e^{-{(x-x_{0}) \over \lambda }}&,\;x\geq x_{0},\\0&,\;x<x_{0}.\end{matrix}}\right.}$.

Обидва способи однаково природні, і необхідна лише домовленість, який з них використовується.

Приклад. Хай є магазин, в який час від часу заходять покупці. При визначених допущеннях, час між появами двох послідовних покупців буде випадковою величиною з експоненційним розподілом. Середній час очікування нового покупця (див. нижче) рівний ${\displaystyle 1/\lambda }$. Сам параметр ${\displaystyle \lambda }$ може бути інтерпретований як середнє число нових покупців за одиницю часу.

У цій статті, для визначеності, передбачатимемо, що щільність експоненційної випадкової величини ${\displaystyle X}$ задана першим рівнянням, і писатимемо: ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$.

Інтегруючи щільність, отримаємо функцію експоненційного розподілу: ${\displaystyle F_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}$

За допомогою нескладного інтегрування знаходимо, що функція моментів для експоненційного розподілу має такий вигляд:

${\displaystyle \mathrm {M} _{x}(t)=\left(1-{t \over \lambda }\right)^{-1}}$,

звідки отримуємо всі моменти:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}}$.

${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}}$,

${\displaystyle \mathrm {D} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$.

Розглянемо генеральну сукупність ${\displaystyle \xi \sim \mathrm {Exp} (1/\lambda )}$.

Статистика вигляду ${\displaystyle {\hat {\theta }}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})={\bar {\xi }}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\xi _{i}}$ є незміщеною, конзистентною та ефективною оцінкою параметру ${\displaystyle \lambda }$ розподілу генеральної сукупності. Незміщеність є наслідком того, що вибіркове середнє є незміщеною оцінкою для математичного сподівання випадкової величини, розподіл якої має генеральна сукупність.

Конзистентність. Використаємо критерій конзистентності для незміщених точкових оцінок. ${\displaystyle \mathrm {D} [{\bar {\xi }}]={\frac {1}{n^{2}}}\mathrm {D} [\sum \limits _{i=1}^{n}\xi _{i}]={\frac {1}{n}}\mathrm {D} [\xi ]={\frac {\lambda ^{2}}{n}}\to 0,}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$. Або можна використати те, що вибіркове середнє є конзистентною оцінкою математичного сподівання.

Для перевірки ефективності запишемо функцію правдоподібності: ${\displaystyle L(\lambda ,x_{1},\dots ,x_{n})=\prod \limits _{i=1}^{n}f_{X}(\lambda ,x_{i})={\frac {1}{\lambda ^{n}}}e^{-{\frac {1}{\lambda }}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}}$. Звідси логарифмічна функція правдоподібності: ${\displaystyle \ln L(\lambda ,x_{1},\dots ,x_{n})=-n\ln(\lambda )-{\frac {1}{\lambda }}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \lambda }}\ln L(\lambda ,x_{1},\dots ,x_{n})=-{\frac {n}{\lambda }}+{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}$. Переходимо до випадкової вибірки, маємо: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \lambda }}\ln L(\lambda ,\xi _{1},\dots ,\xi _{n})=-{\frac {n}{\lambda }}+{\frac {n}{\lambda ^{2}}}{\bar {\xi }}={\frac {n}{\lambda ^{2}}}({\bar {\xi }}-\lambda )}$. А так як вибіркове середнє - незміщена оцінка параметра ${\displaystyle \lambda }$, то за нерівністю Рао-Крамера для незміщених точкових оцінок отримуємо бажаний результат, тобто вибіркове середнє є ефективною оцінкою параметра ${\displaystyle \lambda }$.

• Online calculator of Exponential Distribution (англ.)
• Козлов М.В., Прохоров А.В. Введение в математическую статистику. - М.:Изд-во МГУ, 1987. - 264 с.