Розділення змінних

Ті, кому не подобається запис Лейбніца, можуть використовувати наступну форму запису:

${\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x),}$

але з цього запису не так очевидно, чому метод називають саме "розділенням змінних".

Інтегруючи обидві частини рівняння по ${\displaystyle dx}$, ми отримуємо

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx,\qquad \qquad (2)}$

або, що те ж саме,

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx}$

завдяки застосуванню правила підстановки при інтегруванні.

Коли проінтегрувати окремо вирази у лівій та правій частині рівняння, то можна знайти його розв'язок:

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy+C_{1}=\int g(x)\,dx+C_{2}.}$

Слід зазначити, що немає необхідності використовувати тут дві константи інтегрування, оскільки достатньо лише однієї константи ${\displaystyle C=C_{2}-C_{1}}$.

Зверніть увагу, що метод розділення змінних дозволяє нам розірвати диференціал ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\!}$ на окремі частини. Це у свою чергу дозволяє нам скористатися зручним методом для розв'язку диференційних рівнянь даного типу, як це показано в наступних прикладах.

Звичайне диференціальне рівняння

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x))}$

можна записати як

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y(1-y),}$

вважаючи що ${\displaystyle f(x)=y\!}$. Якщо взяти ${\displaystyle g(x)=1\!}$, а ${\displaystyle h(y)=y(1-y)\!}$, тоді ми можемо записати дане діференціальне рівняння у вигляді рівняння (1), поданого вище. Відповідно, у поданому рівнянні можна виконати розділення змінних. Як і раніше, ми розглядаємо ${\displaystyle dy\!}$ та ${\displaystyle dx\!}$ як певні величини, на які ми можемо поділити або помножити обидві частини рівняння. В даному випадку, помноживши обидві частини рівняння на ${\displaystyle dx\!}$ та поділивши їх на ${\displaystyle y(1-y)\!}$, ми отримаємо:

${\displaystyle {\frac {dy}{y(1-y)}}=dx.}$

Таким чином, ми «розділили» змінні x та y одну від одної, оскільки змінна x та всі функції, що залежать від неї, знаходяться лише у правій частині рівняння, в той час як змінна y та всі функції, що залежать від неї, знаходяться лише у лівій частині.

Інтегруючи обидві частини рівняння, ми отримуємо:

${\displaystyle \int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx,}$

що після спрощення, застосовуючи метод інтегрування простих дробів, перетвориться на

${\displaystyle \int {\frac {1}{y}}\,dy+\int {\frac {1}{1-y}}\,dy=\int 1\,dx,}$

й дасть в результаті:

${\displaystyle \ln |y|-\ln |1-y|=x+C\!}$

де C є константою інтегрування. Здійснивши прості алгебраїчні перетворення, отримуємо простий розв'язок для y:

${\displaystyle y={\frac {1}{1+Be^{-x}}},}$

де ${\displaystyle B=e^{-C}\!}$ є константою. Щоб переконатися у правильності даного розв'язку досить продиференціювати його по ${\displaystyle dx\!}$ й отримати те ж саме рівняння, з якого ми починали даний приклад. (Слід бути уважним з абсолютними величинами при розв'язанні даного рівняння, оскільки різні знаки абсолютної величини змінюють знак константи B на протилежний. Випадок B = 0 дає розв'язок y = 1, який обговорюється нижче.)

Необхідно зазначити, що оскільки ми ділили обидві частини рівняння на ${\displaystyle y\!}$ та ${\displaystyle (1-y)\!}$, слід перевірити чи значення ${\displaystyle y(x)=0\!}$ та ${\displaystyle y(x)=1\!}$ є розв'язками даного диференціального рівняння. В даному випадку обидва ці значення є розв'язками нашого рівняння (див. також особливі розв'язки).

Ріст населення часто моделюють використовуючи наступне диференційне рівняння:

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=vP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$

де ${\displaystyle P\!}$ є функцією зміни населення з часом ${\displaystyle t\!}$, ${\displaystyle v\!}$ є швидкістю росту, а ${\displaystyle K\!}$ відповідає здатності виживати в даному середовищі.

Це диференційне рівняння можна розв'язати застосовуючи метод розділення змінних.

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=vP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$

${\displaystyle \int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int v\,dt}$

Щоб взяти інтеграл у лівій частині рівняння, отриманий дріб слід спочатку переписати як

${\displaystyle {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}={\frac {K}{P\left(K-P\right)}},}$

а потім спростити до

${\displaystyle {\frac {K}{P\left(K-P\right)}}={\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}}$

Таким чином ми маємо, що:

${\displaystyle \int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)\,dP=\int v\,dt}$

${\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}=vt+C}$

${\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}=-vt-C}$

${\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=-vt-C}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-vt-C}}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-C}e^{-vt}}$

${\displaystyle {\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-vt}}$

Нехай ${\displaystyle A=\pm e^{-C}}$.

${\displaystyle {\frac {K-P}{P}}=Ae^{-vt}}$

${\displaystyle {\frac {K}{P}}-1=Ae^{-vt}}$

${\displaystyle {\frac {K}{P}}=1+Ae^{-vt}}$

${\displaystyle {\frac {P}{K}}={\frac {1}{1+Ae^{-vt}}}}$

${\displaystyle P={\frac {K}{1+Ae^{-vt}}}}$

Відповідно, розв'язок цього диференціального рівняння подається у формі

${\displaystyle P\left(t\right)={\frac {K}{1+Ae^{-vt}}}}$

Щоб визначити значення константи ${\displaystyle A}$ приймемо, що при ${\displaystyle t=0\!}$ початкове населення становило ${\displaystyle P\left(0\right)=P_{0}}$. Тоді отримуємо:

${\displaystyle P_{0}={\frac {K}{1+Ae^{0}}}}$

Приймаючи до уваги що ${\displaystyle e^{0}=1\!}$, знаходимо вираз для ${\displaystyle A\!}$:

${\displaystyle A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}}$

Тому кінцевий розв'язок цього диференціального рівняння має вигляд:

${\displaystyle P\left(t\right)={\frac {KP_{0}}{K+P_{0}(1-e^{-vt})}}}$

Припустимо, що F є функцією змінних x, y та z, і що ми намагаємося розв'язати наступне рівняння в частинних похідних:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}=0\qquad \qquad (1)}$

Спробуємо шукати розв'язок у формі

${\displaystyle F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z)\qquad \qquad (2)}$

Підставляючи рівняння (2) в (1), ми отримаємо

${\displaystyle {\frac {dX}{dx}}+{\frac {dY}{dy}}+{\frac {dZ}{dz}}=0\qquad \qquad (3)}$

Зверніть увагу, що X′(x) є функцією лише від x, Y′(y) є функцією лише від y, а Z′(z) є функцією лише від z. Для того, щоб рівняння (1) виконувалося для всіх x, y та z, кожен з доданків у рівнянні (3) повинен бути константою, інакше кожен з доданків вносив би змінність, що не скасовувалась би іншими двома доданками. Тому

${\displaystyle {\frac {dX}{dx}}=c_{1}\quad {\frac {dY}{dy}}=c_{2}\quad {\frac {dZ}{dz}}=c_{3},\qquad \qquad (4)}$

де константи c₁, c₂, c₃ задовольняють рівність

${\displaystyle c_{1}+c_{2}+c_{3}=0\qquad \qquad (5)}$

Рівняння (4) насправді є системою з трьох звичайних диференціальних рівнянь. В даному випадку вони тривіальні й можуть бути розвязані простим інтегруванням, призводячи до:

${\displaystyle F(x,y,z)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4},\qquad \qquad (6)}$

де константа інтегрування c₄ визначається з початкових умов.

Розглянемо диференціальне рівняння

${\displaystyle \nabla ^{2}v+\lambda v={\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}+\lambda v=0.}$

Припускаючи, що змінні тут розділяються, будемо шукати розв'язок у формі

${\displaystyle v=X(x)Y(y).\,}$

В загальному випадку розв'язок буде нескінченною лінійною комбінацією функцій вищезгаданої форми. В деяких спеціальних випадках (див. Приклад (IIb) нижче) припущення про розділення змінних виконується точно.

Виконуючи підстановку, отримаємо

${\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x^{2}}[X(x)Y(y)]+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)}$

${\displaystyle =Y(y)X''(x)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)=0.\,}$

далі розділимо все рівняння на X(x):

${\displaystyle {X''(x)Y(y) \over X(x)}+Y''(y)+\lambda Y(y)=0,}$

а потім на Y(y):

${\displaystyle {X''(x) \over X(x)}+{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}=0.}$

Тепер X′′(x)/X(x) є функцією лише від x, а (Y′′(y)+λY(y))/Y(y) є функцією лише від y. Для того, щоб їх сума була нульовою при всіх можливих значеннях x та y, обидві ці функції мають бути константами. Тому

${\displaystyle {X''(x) \over X(x)}=k=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)},}$

де k є константою розділення. Це рівняння розбивається на звичайні диференціальні рівняння

${\displaystyle X''(x)-kX(x)=0\,}$

та

${\displaystyle Y''(y)+(\lambda +k)Y(y)=0\,}$

які можна розв'язати відповідним чином. Якщо вихідне рівняння було крайовою задачею, то при цьому треба використати відповідні граничні умови. Це загальновживаний метод, що використовується у багатьох підручниках з фізики (від електромагнетизму до квантової механіки), й він буде дуже корисним для будь-якого студента-фізика.

У прямокутній області (наприклад при [0, L₁] × [0, L₂]) з граничними умовами Діріхле припущення про розділення змінних, зроблене у прикладі (IIa), виконується точно. Це дозволяє нам отримати явні вирази для власних функцій через тензорні добутки власних функцій другої похідної, отриманих для одновимірного випадку:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{j_{1},j_{2}}(x,y)&={\sqrt {\frac {2}{L_{1}}}}\sin \left({\frac {j_{1}\pi x}{L_{1}}}\right)\otimes {\sqrt {\frac {2}{L_{2}}}}\sin \left({\frac {j_{2}\pi y}{L_{2}}}\right)\\[8pt]&={\frac {2}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}\sin \left({\frac {j_{1}\pi x}{L_{1}}}\right)\sin \left({\frac {j_{2}\pi y}{L_{2}}}\right),\qquad j_{1},j_{2}=1,\dots ,\infty .\end{aligned}}}$

Власні значення будуть сумою одновимірних власних значень другої похідної. У цьому прикладі,

${\displaystyle \lambda _{j_{1},j_{2}}=-{\frac {j_{1}^{2}\pi ^{2}}{L_{1}^{2}}}+-{\frac {j_{2}^{2}\pi ^{2}}{L_{2}^{2}}}.}$

${\displaystyle L=\mathbf {D_{xx}} \oplus \mathbf {D_{yy}} =\mathbf {D_{xx}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} ,\,}$

де ${\displaystyle \mathbf {D_{xx}} }$ та ${\displaystyle \mathbf {D_{yy}} }$ - одновимірні оператори Лапласа для напрямків x та y відповідно, а ${\displaystyle \mathbf {I} }$ - одиничні матриці відповідного розміру. Див. докладніше у головній статті сума Кронекера для дискретних Лапласіанів (Kronecker sum of discrete Laplacians).