Електромагнітна індукція

Вчений фізик Фарадей встановив кількісний закон електромагнітної індукції, описавши його рівнянням:

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-N{{d\Phi } \over dt}}$,

де

${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ — електрорушійна сила (ЕРС), яка виникає в котушці, що перебуває у змінному магнітному полі, у вольтах

N — кількість витків у котушці

Φ — магнітний потік у веберах.

Якщо в провіднику виникає електрорушійна сила, то відповідно, індукований в ньому струм буде визначатися за законом Ома формулою

${\displaystyle I={\frac {\mathcal {E}}{R}}}$,

де R — опір провідника. Такий струм називається індукційним струмом.

Джеймс Клерк Максвелл узагальнив закон електромагнітної індукції, записавши його через напруженість електричного поля і магнітну індукцію.

${\displaystyle \ \oint \mathbf {E} d\mathbf {l} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int \mathbf {B} d\mathbf {S} }$,

де ${\displaystyle \mathbf {E} }$ — напруженість електричного поля, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ — магнітна індукція, c — швидкість світла у вакуумі.

Закон електромагнітної індукції в диференціальній формі задається другим рівнянням Максвела[1]

${\displaystyle {\text{rot}}\;\mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$,

Електричне поле, яке виникає при зміні магнітного поля призводить до появи електрорушійної сили.

Можна помітити, що інтегральне рівняння Максвелла для ротора напруженості електричного поля, не враховує залежності поверхні від часу, а отже, оператор похідної по часу не можна виносити за інтеграл, не зафіксувавши при цьому елемент вектора площі ${\displaystyle \ d\mathbf {S} }$. Проте результат, що отриманий при виведенні цього рівняння, можна узагальнити. Для цього треба взяти повну похідну від виразу ${\displaystyle \ {\frac {1}{c}}\int \mathbf {B} d\mathbf {S} }$:

${\displaystyle \ {\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}_{t=t_{0}}\int \mathbf {B} d\mathbf {S} ={\frac {1}{c}}\int {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}d\mathbf {S} _{0}+{\frac {1}{c}}\int \mathbf {B} _{0}{\frac {d\mathbf {S} (t)}{dt}}}$.

Оскільки елемент вектора площі дорівнює

${\displaystyle \ d\mathbf {S} =-[d\mathbf {l} \times \mathbf {v} _{0}dt]}$,

що описується як сегмент кривої ${\displaystyle \ d\mathbf {l} }$, що був пройдений за час ${\displaystyle \ dt}$ із швидкістю ${\displaystyle \ \mathbf {v} _{0}}$, то, використовуючи роторне рівняння Максвелла для напруженості електричного поля і щойно написане, можна отримати, що

${\displaystyle \ {\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}_{t=t_{0}}\int \mathbf {B} d\mathbf {S} =-\int [\nabla \times \mathbf {E} ]d\mathbf {S} _{0}-{\frac {1}{c}}\int (\mathbf {B} _{0}\cdot [d\mathbf {l} \times \mathbf {v} _{0}])=-\int \mathbf {E} _{0}d\mathbf {l} -{\frac {1}{c}}\int [\mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} _{0}]d\mathbf {l} =-\int \left(\mathbf {E} _{0}+{\frac {1}{c}}[\mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} _{0}]\right)d\mathbf {l} =}$

${\displaystyle \ =-{\frac {1}{q}}\int \mathbf {F} _{L}d\mathbf {l} =-|\mathbf {F} _{ind.}|\Rightarrow |\mathbf {F} _{ind}|=-{\frac {1}{c}}{\frac {d\Phi }{dt}}}$.

Цей вираз називається законом Фарадея для випадку змінного у часі контуру.

Явище електромагнітної індукції використовується у генераторах електричного струму, трансформаторах, динамо-машинах, лічильниках електроенергії тощо, тобто є основою виробництва й споживання електричної енергії.

• Maxwell, James Clerk (1881), A treatise on electricity and magnetism, Vol. II, Chapter III, § 530, p. 178. Oxford, UK: Clarendon Press. ISBN 0-486-60637-6.