Задача Діріхле

Задача Діріхле ставиться в такий спосіб: нехай в області ${\displaystyle \Omega }$ задано рівняння

${\displaystyle \Delta u=0}$

де ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа. З крайовими умовами:

${\displaystyle {\Bigl .}u{\Bigr |}_{\partial \Omega }=g(\mathbf {x} )}$

Така задача називається внутрішньою задачею Діріхле або першою крайовою задачею. Самі умови називаються умовами Діріхле або першими крайовими умовами. Друга назва може трактуватися ширше, вказує на будь-яку задачу розв'язання диференціального рівняння, коли відомо значення шуканої функції на всій границі області. У випадку, коли треба знайти значення функції поза областю ${\displaystyle \Omega }$ задача називається зовнішньою задачею Діріхле.

Аналітично задача Діріхле може бути розв'язана за допомогою теорії потенціалу. Розв'язання однорідного рівняння можна представити у вигляді[1]:

${\displaystyle u(\mathbf {x} )=\int _{\partial \Omega }{g(\mathbf {x} ){\frac {\partial G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}{\partial n}}dx}}$,

де ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$ — функція Гріна для оператора Лапласа в області ${\displaystyle \Omega }$.

Побудова аналітичного виразу для функції Гріна в складних областях може викликати труднощі, тому для розв'язання таких задач доводиться користуватися чисельними методами. Для кожного методу свої особливості врахування перших крайових умов:

• В методі скінчених різниць для вузлів на границі області записується рівняння ${\displaystyle \mathbf {q} _{i}=g(\mathbf {x} _{i})}$, де ${\displaystyle i}$ — номер відповідного вузла.
• В методі скінчених елементів такі крайові умови називають головними крайовими умовами і вони враховуються на етапі складання матриці, для всіх ваг пов'язаних з границею рівняння замінюються на рівняння виду ${\displaystyle \mathbf {q} _{i}=g(\mathbf {x} _{i})}$, далі виконується кілька кроків методом Гауса, щоб отримана матриця була симетричною[2].

Фізична інтерпретація умов Діріхле — поведінка шуканої величини на границі:

• Температура, якщо розглядається рівняння теплопровідності
• Поле швидкості, якщо розглядається рівняння Стокса
• Магнітне поле або електричне поле, якщо розглядається деяке рівняння, що отримується з рівнянь Максвелла (тоді крайові умови називають магнітними або електричними крайовими умовами, відповідно).

• Диференціальне рівняння еліптичного типу
• Завдання Неймана
• Інтеграл Пуассона
• Перетворення Кельвіна