Теорія потенціалу

Нехай ${\displaystyle \rho (x)}$ належить класу ${\displaystyle C^{1}(G\cup S)}$. Тоді об'ємний потенціал і його похідні 1-го порядку неперервні усюди в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ і їх можна обчислити за допомогою диференціювання під знаком інтеграла, тобто ${\displaystyle Z\in C^{1}(\mathbb {R} ^{n}).}$ Окрім того виконується рівність:

${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }\left({\frac {Z(x)}{E(x,0)}}\right)=\int _{G}\rho (y)dy.}$

Похідні 2-го порядку є неперервними всюди поза S, але при переході через поверхню S вони зазнають розрив, і до того ж в області ${\displaystyle G^{+}}$ задовольняється рівняння Пуассона ${\displaystyle \Delta Z=\rho (x),}$ а в ${\displaystyle G^{-}}$ — рівняння Лапласа ${\displaystyle \Delta Z=0.}$

Перераховані властивості характеризують об'ємний потенціал.

Якщо ${\displaystyle G_{1}}$ є обмеженою областю в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ з границею ${\displaystyle S_{1}}$ класу ${\displaystyle C^{1},}$ то справедливою є формула:

${\displaystyle \int \limits _{S_{1}}{\partial Z \over \partial n_{x}}dS_{1}(x)=-\int _{G\cap G_{1}}\rho (y)dy.}$

Нехай ${\displaystyle \mu \in C^{1}(S).}$ Тоді потенціал простого шару ${\displaystyle V(x)}$ є гармонічною функцією для ${\displaystyle x\notin S}$ і також

${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }\left({\frac {V(x)}{E(x,0)}}\right)=\int _{S}\mu (y)dS(y).}$

Зокрема ${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }V(x)=0,}$ при ${\displaystyle n\geqslant 3}$ але у випадку ${\displaystyle n=2}$ це справедливо тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \int _{S}\mu (y)dS(y)=0.}$

Потенціал простого шару є неперервним всюди в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ також ${\displaystyle V(x)}$ і його дотичні похідні неперервні при переході через поверхню S. Нормальна похідна потенціалу простого шару при переході через поверхню здійснює стрибок:

${\displaystyle \lim _{\stackrel {x'\rightarrow x,}{x'\in G^{+}}}\left({\frac {\partial V(x')}{\partial n_{x}}}\right)=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{x}}}\right)(x)+\mu (x)/2,}$

${\displaystyle \lim _{\stackrel {x'\rightarrow x,}{x'\in G^{-}}}\left({\frac {\partial V(x')}{\partial n_{x}}}\right)=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{x}}}\right)(x)-\mu (x)/2.}$

Через ${\displaystyle \left({\frac {\partial V}{\partial n_{x}}}\right)}$ тут позначено так зване пряме значення нормальної похідної потенціалу простого шару, обчислене на поверхні S, тобто

${\displaystyle {\frac {\partial V(x)}{\partial n_{x}}}=\int \limits _{S}\mu (x){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y),\;x\in S.}$

Визначена таким чином функція є неперервною для ${\displaystyle x\in S,}$ а ядро ${\displaystyle {\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)}$ має слабку особливість на S:

${\displaystyle \left\vert {\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)\right\vert \leqslant {\frac {const}{|x-y|^{n-2}}},\;x,y\in S.}$

Перераховані властивості характеризують потенціал простого шару.

Нехай ${\displaystyle \nu \in C^{1}(S).}$ Тоді потенціал простого шару ${\displaystyle W(x)}$ є гармонічною функцією для ${\displaystyle x\notin S}$ і також

${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }\omega _{n}|x|^{n-1}W(x)=\int _{S}\nu (y)dS(y).}$

Потенціал подвійного шару при переході через поверхню S здійснює стрибок:

${\displaystyle \lim _{\stackrel {x'\rightarrow x,}{x'\in G^{+}}}W(x')=W(x)-\nu (x)/2,}$

${\displaystyle \lim _{\stackrel {x'\rightarrow x,}{x'\in G^{-}}}W(x')=W(x)+\nu (x)/2.}$

Через ${\displaystyle W(x)}$ тут позначено так зване пряме значення потенціалу подвійного шару на поверхні S, тобто

${\displaystyle W(x)=\int \limits _{S}\nu (x){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y),\;x\in S.}$

Визначена таким чином функція є неперервною для ${\displaystyle x\in S,}$ а ядро ${\displaystyle {\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)}$ має слабку особливість на S:

${\displaystyle \left\vert {\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)\right\vert \leqslant {\frac {const}{|x-y|^{n-2}}},\;x,y\in S.}$

Дотичні похідні теж здійснюють стрибок при переході через поверхню S, натомість нормальна похідна є неперервною при переході через поверхню S.

Перераховані властивості характеризують потенціал подвійного шару.

У випадку сталої щільності ${\displaystyle \nu =1}$, справедливою є формула:

${\displaystyle -\int \limits _{S}{\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y)={\begin{cases}1,&x\in G^{+}\\{\frac {1}{2}},&x\in S\\0,&x\in G^{-}\end{cases}}.}$

Нехай ${\displaystyle \lambda \geqslant 0}$ — додатна міра Бореля на просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ з компактним носієм ${\displaystyle \operatorname {supp} \lambda .}$ Потенціал міри визначається як інтеграл:

${\displaystyle E\lambda (x)=\int \limits E(x,y)d\lambda (y).}$

Потенціал міри існує всюди в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ як відображення ${\displaystyle E\lambda$ :\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty ]} при ${\displaystyle n\geqslant 3,}$ і ${\displaystyle E\lambda$ :\mathbb {R} ^{2}\to (-\infty ,\infty ]} при ${\displaystyle n=2}$ і є супергармонічною функцією всюди в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ що є гармонічною поза ${\displaystyle \operatorname {supp} \lambda .}$

Для міри ${\displaystyle \lambda }$ довільного знака з компактним носієм, потенціал ${\displaystyle E\lambda }$ визначається, виходячи з канонічного розкладу ${\displaystyle \lambda }$, у вигляді ${\displaystyle \lambda =\lambda ^{+}-\lambda ^{-},\;\;\lambda ^{+}\geqslant 0,\lambda ^{-}\geqslant 0.}$ Тоді за визначенням ${\displaystyle E\lambda =E\lambda ^{+}-E\lambda ^{-}.}$ У тих точках, де обидва потенціали ${\displaystyle E\lambda ^{+}(x),E\lambda ^{-}(x)}$ приймають нескінченні значення, цей потенціал є невизначеним.

Якщо міра ${\displaystyle \lambda \geqslant 0}$ зосереджена на гладкій поверхні S, можна визначити і потенціал подвійного шару міри:

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial n_{x}}}\lambda =\int \limits {\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)d\lambda (y).}$

Потенціал міри є скінченним усюди в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ за винятком точок полярної множини, множини зовнішньої ємності нуль. Якщо ${\displaystyle E\lambda (x)=0}$ всюди, крім множини зовнішньої ємності нуль, то ${\displaystyle \lambda =0}$.

Якщо міра ${\displaystyle \lambda \geqslant 0,\;\lambda \neq 0}$ зосереджена на множині ємності нуль, то ${\displaystyle \sup E\lambda (x)=+\infty }$. Справджується наступний принцип максимуму:

${\displaystyle E\lambda (x)\leqslant \sup\{E\lambda (y):y\in \operatorname {supp} \lambda \}.}$

Якщо звуження ${\displaystyle \sup E\lambda (x)=+\infty }$ на ${\displaystyle \operatorname {supp} \lambda }$ є неперервним (в узагальненому сенсі) в точці ${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {supp} \lambda }$, то потенціал ${\displaystyle E\lambda }$ є неперервним в точці ${\displaystyle x_{0}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Потенціали міри зводяться до потенціалів щільності ${\displaystyle \rho (x),\nu (x)}$, тоді і тільки тоді, коли міра ${\displaystyle \lambda }$ є абсолютно неперервною по мірі Лебега відповідно на G чи на S.

Якщо T — узагальнена функція, або розподіл, в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ то потенціал розподілу визначається як згортка ${\displaystyle E_{*}T,}$, що є також узагальнено. функцією. Наприклад, якщо T — фінітна узагальнена функція, то в в сенсі узагальнених функцій виконується рівняння Пуассона:

${\displaystyle \Delta ET=-T.}$

Потенціали мір можна розглядати як окремий випадок потенціалів розподілів.

Нехай функція ${\displaystyle \Phi (x)\in C^{2}(G\cup S),}$ де S — гладка поверхня класу ${\displaystyle C^{2}.}$

Тоді ця функція в області G рівна сумі об'ємного потенціалу і потенціалів простого і подвійного шару зі щільностями:

${\displaystyle \rho (y)=-\Delta \Phi (y);\;\mu (y)={\partial \Phi (y) \over \partial n_{y}};\;\nu (y)=-\Phi (y).}$

Нехай функція ${\displaystyle u(x)\in C^{1}(G\cup S),}$ де S — гладка поверхня класу ${\displaystyle C^{2}}$ і ${\displaystyle u(x)}$ є гармонічною в області G.

Тоді ця функція в області G рівна сумі потенціалів простого і подвійного шару зі щільностями:

${\displaystyle \mu (y)={\partial u(y) \over \partial n_{y}};\;\nu (y)=-u(y).}$

Знайти гармонічну в ${\displaystyle G^{+}}$ функцію ${\displaystyle u(x)\in C^{1}(G^{+}\cup S),}$ де ${\displaystyle S\in C^{1,\alpha },\;\alpha \in (0,1)}$ ( ${\displaystyle C^{1,\alpha }}$ позначає умову Гельдера), що на границі S рівна деякій неперервній функції ${\displaystyle f(x).}$

Розв'язок цієї задачі можна записати у виді потенціалу подвійного шару

${\displaystyle u(x)=\int \limits _{S}\nu (y){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y),}$

де щільність є єдиним розв'язком інтегрального рівняння Фредгольма другого роду:

${\displaystyle \int \limits _{S}\nu (y){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y)-1/2\nu (x)=f(x),\;x\in S.}$

Знайти гармонічну в ${\displaystyle G^{+}}$ функцію ${\displaystyle u(x)\in C^{1}(G^{+}\cup S),}$ де ${\displaystyle S\in C^{1,\alpha },\;\alpha \in (0,1)}$ ( ${\displaystyle C^{1,\alpha }}$ позначає умову Гельдера), що на границі S задовольняє граничній умові ${\displaystyle {\partial u(x) \over \partial n_{x}}=\varphi (x),}$ для деякої неперервної на S функції ${\displaystyle \varphi (x),}$ що задовольняє необхідну умову ортогональності ${\displaystyle \int _{S}\varphi (y)dS(y)=0.}$

Розв'язок цієї задачі з точністю до константи можна записати у виді потенціалу простого шару

${\displaystyle u(x)=\int \limits _{S}\mu (y)E(x,y)dS(y)+C,}$

де щільність є розв'язком інтегрального рівняння Фредгольма другого роду:

${\displaystyle \int \limits _{S}\mu (y){\partial \over \partial n_{x}}E(x,y)dS(y)+1/2\mu (x)=\varphi (x),\;x\in S.}$

Відповідне однорідне рівняння має нетривіальний розв'язок ${\displaystyle \mu _{0},}$ а загальний розв'язок неоднорідного може бути записаним як ${\displaystyle \mu (x)+c\mu _{0}(x),}$ де c — довільна константа.

Знайти гармонічну в ${\displaystyle G^{-},\;0\in G^{+}}$ функцію ${\displaystyle u(x)\in C^{1}(G^{+}\cup S),}$ де ${\displaystyle S\in C^{1,\alpha },\;\alpha \in (0,1)}$ ( ${\displaystyle C^{1,\alpha }}$ позначає умову Гельдера), що на границі S рівна деякій неперервній функції ${\displaystyle f(x).}$ При цьому функція вважається регулярною на нескінченності:

${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }|x|^{n-2}u(x)=const.}$

Розв'язок цієї задачі завжди існує є єдиним і його можна записати у виді:

${\displaystyle u(x)=\int \limits _{S}\nu (y){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y)+{\frac {A}{|x|^{n-2}}},}$

де A є константою, а щільність потенціалу є розв'язком інтегрального рівняння Фредгольма другого роду:

${\displaystyle \int \limits _{S}\nu (y){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y)+1/2\nu (x)=f(x)-{\frac {A}{|x|^{n-2}}},\;x\in S.}$

Знайти гармонічну в ${\displaystyle G^{-},\;0\in G^{+}}$ функцію ${\displaystyle u(x)\in C^{1}(G^{+}\cup S),}$ де ${\displaystyle S\in C^{1,\alpha },\;\alpha \in (0,1)}$ ( ${\displaystyle C^{1,\alpha }}$ позначає умову Гельдера), що на границі S задовольняє граничній умові ${\displaystyle {\partial u(x) \over \partial n_{x}}=\varphi (x),}$ для деякої неперервної на S функції ${\displaystyle \varphi (x).}$ При цьому функція вважається регулярною на нескінченності:

${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }|x|^{n-2}u(x)=const.}$

При ${\displaystyle n\geqslant 3}$ розв'язок цієї задачі існує і є єдиним, для ${\displaystyle n=2}$ розв'язок (єдиний з точністю до додавання константи) існує лише коли ${\displaystyle \int _{S}\varphi (y)dS(y)=0.}$

Розв'язок цієї задачі можна записати у виді потенціалу простого шару

${\displaystyle u(x)=\int \limits _{S}\mu (y)E(x,y)dS(y),}$

де щільність є розв'язком інтегрального рівняння Фредгольма другого роду:

${\displaystyle \int \limits _{S}\mu (y){\partial \over \partial n_{x}}E(x,y)dS(y)-1/2\mu (x)=\varphi (x),\;x\in S.}$

При ${\displaystyle n\geqslant 3}$ розв'язок цього рівняння існує і є єдиним. Для ${\displaystyle n=2}$ відповідне однорідне рівняння має нетривіальний розв'язок ${\displaystyle \mu _{0},}$ а при виконанні необхідних умов неоднорідне рівняння має єдиний розв'язок для якого ${\displaystyle \int _{S}\mu _{1}(y)dS(y)=0.}$

Тоді загальний розв'язок можна записати як ${\displaystyle \mu (x)=\mu _{1}(x)+c\mu _{0}(x),}$ де c — довільна константа.