Потік випромінювання

Інтенсивність випромінювання енергії будь-якою точкою (яка випромінює як абсолютно чорне тіло) довільного тіла з температурою T в залежності від частоти випромінювання визначається законом Планка як:

${\displaystyle B(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}},}$

де

• ${\displaystyle B(\nu ,T)d\nu \,}$ становить кількість випроміненої енергії з одиниці площі поверхні в одиницю часу в одиницю тілесного кута на частоті ν,
• ${\displaystyle h\,}$ є сталою Планка
• ${\displaystyle c\,}$ відповідає швидкості світла, та
• ${\displaystyle k\,}$ є сталою Больцмана.

Введемо систему полярних координат з початком координат у довільно вибраній точці поверхні цього тіла. У цій же точці виберемо ділянку поверхні одиничної площі й визначимо повний потік випромінювання, що проходить з середини тіла назовні через цю ділянку. Приймемо що розміри тіла в багато разів перевищують розміри вибраної ділянки. Тоді кожна точка тіла, що випромінює згідно з законом Планка даватиме свій вкдад у загальний потік через вибрану ділянку одиничної площі. Проте, коли промінь від такої точки утворює кут θ з нормаллю до вибраної ділянки, то кількість випромінювання від цієї точки, що пересікає ділянку, буде ${\displaystyle \cos \theta B(\nu ,T)\,}$. Щоб оцінити повний потік через ділянку слід проінтегрувати вказаний вираз по тілесному куту півсфери всередині тіла навколо вибраної ділянки, звідки світло виходить через ділянку назовні. Відповідно:

${\displaystyle F(\nu ,T)=\int \cos \theta B(\nu ,T)d\Omega =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi /2}\cos \theta B(\nu ,T)\sin \theta d\theta d\phi =2\pi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta B(\nu ,T)\sin \theta d\theta .}$

Узявши останній інтеграл отримуємо кінцеву формулу:

${\displaystyle F(\nu ,T)=\pi B(\nu ,T),}$

яка задає зв'язок інтенсивності випромінювання кожної точки тіла з потоком випромінювання через ділянку одиничної площі на поверхні цього ж тіла в одиницю часу на певній частоті. Згідно з отриманим виразом потік випромінювання є пропорційним інтенсивності випромінювання й, відповідно, залежить таким же чином як і інтенсивність від частоти випромінювання та температури тіла:

${\displaystyle F(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}.}$

Проінтегрувавши цей потік по всіх можливих частотах отримуємо залежність повного потоку випромінювання в одиницю часу через одиничну площу поверхні від температури тіла. Ця залежність називається законом Стефана-Больцмана:

${\displaystyle F=\sigma T^{4}\,\!}$,

де ${\displaystyle \sigma }$ є сталою Стефана—Больцмана.

Нехай тіло, що випромінює, буде зорею з наперед заданими ефективною температурою T_eff та радіусом R. Тоді

${\displaystyle F=\sigma T_{\text{eff}}^{4},\!}$

й щоб отримати потік випромінювання зі всієї поверхні зорі, необхідно проінтегрувати зазначений вираз по поверхні. Оскільки зоря має форму сфери й через кожну ділянку її поверхні проходить однаковий потік випромінювання, то у цьому випадку світність визначається як добуток потоку на площу поверхні сфери з радіусом R:

${\displaystyle L=F4\pi R^{2}=4\pi R^{2}\sigma T_{\text{eff}}^{4}.\!}$

Звідси видно, що світність зорі пропорційна її ефективній температурі в четвертій степені. З цього виразу можна отримати також, що:

${\displaystyle F={\frac {L}{4\pi R^{2}}}.\!}$

• Потік
• Вектор Умова-Пойнтінга
• Світловий потік
• Енергетична світність

• Соболєв В. Курс теоретичної астрофізики — М.: Наука, 1990.
• Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Донбас, 2007. — Т. 2 : Л — Р. — 670 с. — ISBN 57740-0828-2.