Змішаний об'єм

Нехай ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{n}}$ набір з ${\displaystyle n}$ опуклих тіл в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ і ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}}$ додатних дійсних чисел. Позначимо через ${\displaystyle v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$ об'єм тіла

${\displaystyle \lambda _{1}\cdot K_{1}+\lambda _{2}\cdot K_{2}+\dots +\lambda _{n}\cdot K_{n},}$

де "${\displaystyle +}$"означає суму Мінковського і

${\displaystyle \lambda _{i}\cdot K_{i}=\{\,\lambda \cdot x\mid x\in K_{i}\,\}.}$

Функція ${\displaystyle v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$ є однорідним многочленом степені ${\displaystyle n}$. Коефіцієнт цього многочлена при ${\displaystyle \lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}}$ за визначенням дорівнює ${\displaystyle n!\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})}$.

Зауважимо, що

${\displaystyle v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}=1}^{n}V(K_{i_{1}},K_{i_{2}},\dots ,K_{i_{n}})\cdot \lambda _{i_{1}}\cdot \lambda _{i_{2}}\cdot \dots \cdot \lambda _{i_{n}}.}$

• Для довільних невід'ємних чисел ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}}$,

  ${\displaystyle V(\lambda _{1}\cdot K_{1},\lambda _{2}\cdot K_{2},\dots ,\lambda _{n}\cdot K_{n})=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})}$

• Змішаний об'єм інваріантний відносно паралельних переміщень тіл в наборі.
• Змішаний об'єм монотонний з включенням тіл.
• Змішаний об'єм неперервний відносно метрики Гаусдорфа.
• Змішаний об'єм невід'ємний.
  • Більше того, ${\displaystyle V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})>0}$ тільки тоді, коли в кожному ${\displaystyle K_{i}}$ можна провести по відрізку так, щоб ці відрізки були

лінійно незалежні.

• Для невід'ємного цілого ${\displaystyle k\leqslant n}$ Змішаний об'єм ${\displaystyle n-k}$ копій опуклого тіл ${\displaystyle K}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ і ${\displaystyle k}$ копій одиничної кулі виражається через ${\displaystyle k}$-у середню поперечну міру ${\displaystyle K}$. Зокрема
  • Змішаний об'єм набору з ${\displaystyle n}$ копій ${\displaystyle K}$ дорівнює звичайному об'єму ${\displaystyle K}$.
  • Змішаний об'єм набору з ${\displaystyle n-1}$ копій ${\displaystyle K}$ і одиничної кулі дорівнює площі поверхні ${\displaystyle K}$.
• Типове число рішень системи поліноміальних рівнянь ${\displaystyle f_{1}=f_{2}=\dots =f_{n}=0}$ дорівнює змішаному об'єму многокутників Ньютона${\displaystyle f_{i}}$.
• нерівність Мінковського

  ${\displaystyle V^{n}(K,L,\dots ,L)\geqslant V(K)\cdot V^{n-1}(L)}$

• нерівність Александрова — Фенхеля

  ${\displaystyle V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geqslant {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})\cdot V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.}$