Зіркоподібний многокутник

Зіркоподібний многокутник — многокутна зірчата область на площині. Тобто, вона містить точку, з якої всі точки многокутника видимі.

Зіркоподібний многокутник (вгорі). Його ядро зображено знизу червоним кольором.

Формально многокутник P є зіркоподібним, якщо існує така точка z, що для кожної точки p з P відрізок zp цілком лежить у межах P.[1]

Множина усіх точок z з цією властивістю (тобто множина точок, з яких P видно повністю) називається ядром або душею P.

Приклад

Будь-який опуклий многокутник буде зірчастим. Опуклий многокутник є тотожнім зі своїм ядром.

Правильні зірки будуть зіркоподібними, їх центри належать ядру.

Антипаралелограми та шестикутники Лемуана з самоперетинами будуть зіркоподібними, ядром буде лише одна точка.

Многокутники видимості є зіркоподібними за визначенням, оскільки кожну точку всередині них повинно бути видно з центру за визначенням.

Алгоритми

Перевірка многокутника на зіркоподібність, і пошук однієї точки ядра, можна виконати за лінійний час, як задачу лінійного програмування з застосуванням методів лінійного програмування для невеликої кількості вимірів (див. http://www.inf.ethz.ch/personal/emo/PublFiles/SubexLinProg_ALG16_96.pdf, стор. 16).

Кожне ребро многокутника визначає внутрішність півплощини, границя якої містить це ребро, а сама півплощина містить внутрішні точки багатокутника, які належать околу внутрішніх точок цього ребра. Ядром многокутника буде перетин усіх внутрішностей півплощин. Перетин довільної множини N півплощин можна знайти за час Θ(N log N) за допомогою методу розділяй та володарюй.[1] Однак, є більш швидкі способи пошуку ядра багатокутника: Лі та Препарата, (1979)[2] розробили алгоритм знаходження ядра за лінійний час.

Примітки
  1. Франко Препарата, Майкл Шеймос (1985). Computational Geometry – An Introduction. Springer-Verlag. 1st edition: ISBN 0-387-96131-3; 2nd printing, corrected and expanded, 1988: ISBN 3-540-96131-3.
  2. Lee, D. T.; Preparata, F. P. (July 1979). An Optimal Algorithm for Finding the Kernel of a Polygon. Journal of the ACM 26 (3): 415–421. doi:10.1145/322139.322142.

Див. також
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.