Комплекснозначна функція

Комплекснозначна функція в теорії функцій дійсної змінної — функція, що набуває комплексних значень: ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ .

Таку функцію можна подати у вигляді:

${\displaystyle f(x)=u(x)+iv(x)}$,

де ${\displaystyle u(x)}$ і ${\displaystyle v(x)}$ — дійсні функції. У цьому випадку функцію ${\displaystyle u(x)}$ називають дійсною частиною функції ${\displaystyle f(x)}$, а ${\displaystyle v(x)}$ — її уявною частиною. У зв'язку з таким розкладом, на комплекснозначні функції природно переносяться всі поняття, що вводяться для дійснозначних функцій, зокрема, комплекснозначна функція вважається неперервною (диференційовною, аналітичною, вимірною, гармонійною), якщо її дійсна і уявна частини є неперервними (диференційовними, аналітичними, вимірними, гармонійними) функціями. Інтеграл комплекснозначної функції ${\displaystyle f(x)=u(x)+iv(x)}$ визначається так:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)=\int \limits _{a}^{b}u(x)dx+i\int \limits _{a}^{b}v(x)dx}$ .

Однак не всі властивості, виконані для дійсної й уявної частини одночасно, можна поширити на комплекснозначні функції. Зокрема, для комплекснозначних функцій у загальному випадку не діє теорема Ролля, наприклад, похідна комплекснозначної функції дійсного аргументу:

${\displaystyle \sigma (x)=e^{ix}}$

на інтервалі ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ не перетворюється на нуль, хоча в кінцевих точках відрізка значення функції рівні ${\displaystyle (\sigma (0)=\sigma (2\pi )=1)}$.