Аналіз функцій дійсної змінної

Теореми із галузі аналізу функцій дійсної змінної покладаються безпосередньо на визначення структури ряду дійсних чисел. Система дійсних чисел складається із множини (${\displaystyle \mathbb {R} }$), а також включає дві операції (+ і •) і впорядкування (<), і, формально кажучи, є впорядкованою четвіркою, що складається із цих об'єктів: ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\bullet ,<)}$. Існує декілька способів формалізації поняття системи дійсних чисел. Синтетичний підхід визначає список аксіом для дійсних чисел, що є повним впорядкованим полем. Зокрема, властивість повноти відрізняє дійсні числа від інших впорядкованих полів (наприклад, від раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) і є критично важливим для доведення декількох основних властивостей функцій дійсних значень. Повнота дійсних чисел часто виражається як властивість існування точної верхньої (нижньої) межі (vide infra).

Дійсні числа мають декілька важливих властивостей, що стосуються впорядкованих ґраток, які не властиві комплексним числам. Найбільш важливою властивістю, є те що дійсні числа утворюють впорядковане поле, в якому операції додавання і множення зберігають позитивність. Крім того, дійсні числа це лінійно впорядкована множина, в вони мають точну верхню (нижню) межі:

Кожна не пуста підмножина множини ${\displaystyle \mathbb {R} }$ що має верхню межу, має найменшу верхню межу, що також є дійсним числом.

Ці теоретичні властивості впорядкування дозволяють отримати ряд важливих результатів, такі як теорема Леві про монотонну збіжність, Теорема Больцано — Коші і Теорема Лагранжа.

Однак, хоча результати даного аналізу отримані для області дійсних чисел, багато з них можна застосувати і для інших математичних об'єктів. Зокрема, багато ідей в функціонального аналізу і теорії операторів узагальнюють властивості дійсних чисел.

Послідовність це функція областю якої є злічена, повністю впорядкована множина, що зазвичай задається натуральними або цілими числами.[1] Іноді зручно розглядати двонаправлені послідовності, що індексуються цілими числами, включаючи негативні індекси.

Областю інтересу аналізу функцій дійсних змінних є послідовність дійсних значень, індексована в даному випадку натуральними числами, що є мапою ${\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,\ n\mapsto a_{n}}$. Кожний ${\displaystyle a(n)=a_{n}}$ називають термом (або, рідше елементом) послідовності. Послідовність рідко позначається явним чином як функція; замість того, загальноприйнятим майже завжди є, позначати її як впорядкований ∞-кортеж, із указанням окремих термів або загального терму вказаного у дужках:

${\displaystyle (a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots )}$.[2]

Послідовність яка збігається до деякої границі (i.e., ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ exists) називається збіжною; в протилежному випадку, вона називається розбіжною. Послідовність дійсних значень ${\displaystyle (a_{n})}$ буде обмеженою яке існує ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ таке, що ${\displaystyle |a_{n}|<M}$ для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Послідовність дійсних значень ${\displaystyle (a_{n})}$ буде монотонно зростати або зменшуватися якщо

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \ldots }$ або ${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \ldots }$

будуть здійснюватися, відповідно. Якщо виконується одна із зазначених умов, послідовність називається монотонною.

Границя — це значення, до якого "наближається" функція або послідовність, коли вхідне значення або індекс наближається деякого значення.[3] Ліміти є важливим поняттям числення (і математичного аналізу загалом) і використовувалися для визначення неперервності функцій, похідної, і інтеграла. По суті, числення початково визначалося як наука, що вивчає границі і граничні процеси.

Поняття границі вперше запропонував Коші, а більш строгим його зробили Бернард Больцано і Карл Веєрштрас. Це поняття дозволило вивчати числення Ньютона і Лейбніца у більш логічний послідовний спосіб, і в кінцевому рахунку дало початок існування математичного аналізу як дисципліни. Сучасне ε-δ визначення границі функції дійсної змінної приведене нижче.

Визначення. Нехай ${\displaystyle f}$ є функцією дійсних значень визначеною для області ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$. Будемо говорити, що ${\displaystyle f(x)}$ наближається до ${\displaystyle L}$ при ${\displaystyle x}$ що прямує до ${\displaystyle x_{0}}$, або що границею функції ${\displaystyle f(x)}$ при ${\displaystyle x}$, що прямує до ${\displaystyle x_{0}}$ є ${\displaystyle L}$ якщо, для будь-якого ${\displaystyle \epsilon >0}$, існує таке ${\displaystyle \delta >0}$, що для всіх ${\displaystyle x\in E}$, ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }$ буде здійснюватися ${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$. Запишемо це символічно у вигляді

${\displaystyle f(x)\to L\ \ {\text{as}}\ \ x\to x_{0}}$, або ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}$.

В більш інтуїтивно зрозумілому вигляді, це визначення можна представити наступним чином: Скажемо що ${\displaystyle f(x)\to L}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$, тоді ми завжди можемо знайти таке додатне число ${\displaystyle \delta }$, що при будь-якому даному додатному числі ${\displaystyle \epsilon }$ (не важливо наскільки малим воно є), ми можемо бути впевнені, що ${\displaystyle f(x)}$ і ${\displaystyle L}$ є меншими за ${\displaystyle \epsilon }$, доки ${\displaystyle x}$ (в області функції ${\displaystyle f}$) є дійсним числом що менше ніж ${\displaystyle \delta }$ що далі від ${\displaystyle x_{0}}$ але є відмінною від ${\displaystyle x_{0}}$. Метою останньої умови, що відповідає виконанню умови ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|}$ у даному визначенні, є гарантування того, що ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}$ ніяк не зв'язано із самим значенням ${\displaystyle f(x_{0})}$. Насправді, ${\displaystyle x_{0}}$ не обов'язково повинно бути в області значень ${\displaystyle f}$ для того, щоб границя ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ існувала.

Поняття границі також тісно зв'язане із поведінкою послідовностей ${\displaystyle (a_{n})}$ при ${\displaystyle n}$ що стає нескінченно великим.

Визначення. Нехай ${\displaystyle (a_{n})}$ є послідовністю дійсних значень. Будемо говорити, що ${\displaystyle (a_{n})}$ збігається до ${\displaystyle a}$ якщо, для будь-якого ${\displaystyle \epsilon >0}$, існує натуральне число ${\displaystyle N}$ таке що ${\displaystyle n\geq N}$ при якому виконується ${\displaystyle |a-a_{n}|<\epsilon }$. Запишемо це у символьній формі наступним чином

${\displaystyle a_{n}\to a\ \ {\text{as}}\ \ n\to \infty }$, або ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}$;

Якщо ${\displaystyle (a_{n})}$ не збігається, говорять, що послідовність ${\displaystyle (a_{n})}$ є розбіжною.

Функція, що є перетворенням змінних із множини дійсних чисел у дійсні числа може бути представлена у вигляді графіку у Декартовій площині; така функція буде неперервною якщо, грубо кажучи, її графік буде суцільною не розірваною кривою без "розривів" чи ділянок, направлених у нескінченність.

Існує декілька представлень, що роблять це припущення математично точним. Можна привести декілька різних визначень із різного рівня узагальнення. У випадку коли можливо застосувати два або більше визначень, можна показати що вони є еквівалентними одне одному, тому для визначення неперервна функція чи ні можна використовувати будь-яке з них, яке зручніше. У першому визначенні, що приведене нижче, ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ є функцією, що визначена у невиродженому інтервалі ${\displaystyle I}$ із множини дійсних чисел що є її областю визначення. Однією із можливих ситуацій є ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$, що є всією множиною дійсних чисел, відкритий інтервал ${\displaystyle I=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x<b\},}$ або закритий інтервал ${\displaystyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x\leq b\}.}$ Тут, ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ є відмінними дійсними числами, а випадки із пустим ${\displaystyle I}$ або такою, що складається із однієї точки, виключається.

Визначення. Якщо ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ - невироджений інтервал, говоримо що ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ є неперервною для ${\displaystyle p\in E}$ якщо ${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=f(p)}$. math>f</math> називають неперервним відображенням якщо ${\displaystyle f}$ є неперервною для кожної ${\displaystyle p\in I}$.

На відміну від вимоги існування границі в точці ${\displaystyle p}$ для функції for ${\displaystyle f}$, яка ніяк не обмежує поведінку ${\displaystyle f}$ в самій точці ${\displaystyle p}$, окрім існування ${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)}$, повинні здійснюватися наступні дві умови, для того, щоб ${\displaystyle f}$ була неперервною в ${\displaystyle p}$: (i) ${\displaystyle f}$ повинна бути визначена в точці ${\displaystyle p}$, тобто, ${\displaystyle p}$ це точка в області визначення функції ${\displaystyle f}$; і (ii) ${\displaystyle f(x)\to f(p)}$ при ${\displaystyle x\to p}$. Приведене визначення насправді застосовується для будь-якої області ${\displaystyle E}$, яка не містить ізольованої точки.

Дана (нескінченна) послідовність ${\displaystyle (a_{n})}$, ми можемо визначити асоціативний ряд як формальний математичний об'єкт ${\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$, що іноді записують простіше у вигляді ${\textstyle \sum a_{n}}$. Часткові суми ряду ${\textstyle \sum a_{n}}$ є числами, що задаються як ${\textstyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}}$. Говорять, що ряд ${\textstyle \sum a_{n}}$ є збіжним якщо послідовність, що складається із його часткових сум, ${\displaystyle (s_{n})}$, є збіжною; в іншому випадку ряд є розбіжним. Сума збіжних рядів задається у вигляді ${\textstyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}$.

Варто підкреслити, що слово "сума", що використовується тут варто розуміти в метафоричному сенсі як поняття границі послідовності часткових сум і не повинно інтерпретуватися як просто "додавання" нескінченного числа елементів. Наприклад, на відміну від поведінки скінченних сум, перевпорядкування елементів в нескінченній сумі може привести до того, що результат збіжності буде різним (більш детально це розглядає теорема Рімана про умовно збіжний ряд).

Прикладом збіжних рядів є геометричні ряди, які є основою для одно із відомого парадоксу Зенона:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1}$.

На відміну від того, гармонічний ряд був відомий із часів середньовіча і є розбіжним рядом:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty }$.

(Тут, "${\displaystyle =\infty }$" є прийнятим позначенням, що вказує на те що часткові суми ряду збільшуються без обмеження.)

Говорять, що ряд ${\textstyle \sum a_{n}}$ є абсолютно збіжним, якщо збіжною є сума ${\textstyle \sum |a_{n}|}$.

Ряд Тейлора функції ƒ(x) дійсних або комплексних значень, що є неперервно-диференційованою функцією для дійсного або комплексного числа a є степеневим рядом

який можна записати в більш компактній сигма нотації наступним чином:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}$

де n! означає факторіал по n і ƒ ⁽ⁿ⁾(a) позначає n-у похідну функції ƒ розраховану в точці a. Похідна нульового порядку для ƒ позначається як сама функція ƒ і (x − a)⁰ та 0! обидва визначені як так, що дорівнюють 1. У випадку коли a = 0, також називається рядом Маклорена.

Ряд Фур'є дозволяє розкласти періодичні функції або періодичні сигналу у суму (можливо нескінченну), що складається із набору простих періодичних функцій, зокрема функцій синусу і косинусу (або комплексних компонент). Вивчення рядів Фур'є є задачею аналізу Фур'є.

За формальним визначенням, похідною функції f в точці a є границя

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

Якщо похідна існує по всій області визначення функції, така функція є диференційованою. Повторивши процес декілька разів, можна отримати похідні вищих порядків.

Функції можна класифікувати за їхнім класом диференціювання. Клас C⁰ містить усі неперервні функції. Клас C¹ складається з усіх диференційованих функцій, які мають неперервну похідну; такі функції називають неперервно диференційованими.