Континуум-гіпотеза

Відомо кілька тверджень, еквівалентних континуум-гіпотезі:

• Пряма ${\displaystyle \mathbb {R} }$ може бути розфарбована в зліченну кількість кольорів так, що ні для якої одноколірної четвірки чисел ${\displaystyle a,b,c,d}$ не виконується умова ${\displaystyle a+b=c+d.}$[1]
• Площина ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ може бути повністю покрита зліченним сімейством кривих, кожна з яких має вигляд ${\displaystyle y=f(x)}$ (тобто має єдину точку перетину з кожною вертикальною прямою) або ${\displaystyle x=f(y)}$ (має єдину точку перетину з кожною горизонтальною прямою).[2]
• Простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ можна розбити на 3 множини так, що вони перетинаються з будь-якою прямою, паралельною осям Ox, Oy і Oz, відповідно, лише в скінченній кількості точок.[3]
• Простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ можна розбити на 3 множини так, що для кожної з них існує така точка P, що ця множина перетинається з будь-якою прямою, що проходить через P, лише в скінченній кількості точок.[4]

Узагальнена континуум-гіпотеза стверджує, що для будь-якої нескінченної множини S, кожна множина, кардинальне число якої більше, ніж у S, має кардинальне число, яке більше або дорівнює 2^S.

Узагальнена континуум-гіпотеза також не суперечить аксіоматиці Цермело-Френкеля, і, як довели Серпінський 1947 р. і Шпеккер 1952 р., з неї випливає аксіома вибору.